| Résumé: | Par un théorème classique de Bieberbach, un groupe de type fini agissant proprement isométriquement sur un espace euclidien (de dimension finie) est virtuellement abélien. La situation change complètement si on admet des espaces de Hilbert de dimension infinie: la classe des groupes admettant une action isométrique propre sur un Hilbert est très vaste, elle contient les groupes libres et les groupes moyennables. Nous essaierons d'expliquer pourquoi cette classe est intéressante (liens avec la théorie ergodique et les algèbres d'opérateurs) et comment on peut utiliser la géométrie pour construire des exemples de groupes dans cette classe. |
| Résumé: | Si G est un groupe, l'ensemble de ses sous-groupe possède une topologie naturelle qui en fait un espace compact. Dans un travail en commun avec L. Guyot et W. Pitsch, on décrit la topologie de cet espace dans le cas d'un groupe abélien. |
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| Résumé: | En utilisant une construction due à Murray et von Neumann (1943), les groupes dénombrables et leurs actions sur des espaces mesurés donnent lieu à des algèbres d'opérateurs sur un espace de Hilbert, que l'on appelle algèbres de von Neumann. Le but de cet exposé est d'expliquer la relation subtile entre une action de groupe et son algèbre de von Neumann : un théorème de Connes de 1976 dit que toutes les actions de tous les groupes moyennables mènent à une seule algèbre de von Neumann, tandis que les résultats récents de rigidité de Popa fournissent des actions de groupes telles que l'algèbre de von Neumann associée se souvient entièrement du groupe et de l'action. |
| Résumé: | In differential geometry, if a compact manifold M has non--positive curvature, then its universal cover M' is a reasonably nice space to study (for example it is contractible). Some properties of M' then translate to the properties of the fundamental group of M, which acts on M'. We will speak about simplicial complexes, non--positively curved in the sense of Januszkiewicz and Swiatkowski. The curvature assumption allows one to inductively build such complexes of higher and higher dimension. In particular, this implies that there are Coxeter groups, hyperbolic in the sense of Gromov, of arbitarily high cohomological dimension. We will give a brief overview of this topic. |
| Résumé: | On démontre une version effective uniforme de l'alternative de Tits sur un corps quelconque qui entraine plusieurs résultats nouveaux sur la structure des groupes linéaires principalement à propos de leur croissance et de leur rayon spectral. En réduisant mod p on en déduit aussi de nouvelles bornes sur la systole de graphes de Cayley des sous-groupes de $GL(n,F_q)$. Les preuves reposent sur la notion de rayon spectral arithmétique d'une famille finie de matrices, et le théorème principal énonce une minoration uniforme de ce rayon spectral valable pour toute famille finie de $GL(n,\overline{Q})$ engendrant un sous-groupe non presque résoluble. La preuve fait intervenir les théorèmes de Zhang et Bilu sur l'équidistribution des points de petites hauteurs dans les tores. On évoquera aussi, en relation avec la conjecture de Lehmer, le cas étonnament plus difficile, des groupes résolubles. |