| Résumé: | In recent years there has been much interest in giving estimates for the number of (conjugacy classes of) lattices in a Lie group H whose covolume is bounded by a given real number x. This number is known to be finite in case H is simple non-compact and not locally isomorphic to PSL(2, R) or PSL(2, C). There are by now several results (e.g. bounds, asymptotic evaluations) for both higher rank Lie groups and PSO(n,1) for n at least 4. In the case of PSL_2 over a local field there are infinitely many lattices of a given covolume, but it is known that the number AL(x) of arithmetic lattices of covolume bounded by x is finite. In the talk I intend to focus on two recent results giving a precise limit to the expression AL(x)/{x log(x)} as x tends to infinity. The first result concerns PSL_2 over the reals and is due to Belolipetsky, Gelander, Lubotzky and Shalev. The second concerns PSL_2 over a large family of p-adic fields including Q_p for p>3. |
| Résumé: | Il est bien connu depuis Nielsen que les surfaces (compactes connexes sans bord) sont classifiées, à homéomorphisme près, par leur groupe fondamental. Cette situation change radicalement lorsqu'on adopte le point de vue de la géométrie différentielle: une surface S donnée porte en effet de nombreuses structures Riemanniennes différentes. En fait, à toute métrique hyperbolique sur S on associe une représentation linéaire de son groupe fondamental π1(S) à valeurs dans SL(2, R). On obtient ainsi un ensemble de représentations, appelé espace de Teichmüller, qui porte une structure très riche. L'objet de cet exposé est de décrire ce qui se produit lorsqu'on remplace SL(2, R) par un groupe de Lie de dimension supérieure. |
| Résumé: | What are all (measurable) self-maps of the plane R2 commuting the natural action of GL(2, Z)? In my talk I will answer this question and discuss the general phenomena behind it. This is based on a joint work with Furman, Gorodnik and Weiss. |