Exemple de réponse à l'exercice S01-11 : compromis entre le niveau du champ magnétique et celui de la densité de courant

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Nous supposons que la fréquence de fonctionnement est fixée (habituellement 50 Hz en Europe). Dans ces conditions, la tension induite sur un enroulement est proportionnelle au flux magnétique, ce que nous écrivons en considérant les valeurs efficaces des tensions et du flux :

(S01-90a) U₁ = n₁w F

ou

(S01-90b) U₂ = n₂w F

De même, le courant total circulant dans la fenêtre magnétique est, si l'on néglige le courant magnétisant, le même (en norme) au primaire et au secondaire, soit

(S01-91) I_t = n₁ I_t1 = n₂ I_t2

La pulsation électrique étant imposée, on voit que maximer le produit UI revient à maximer le produit F I_t.

Par ailleurs, pour maximer ce produit, on choisira le flux et le courant aussi grands que possible, donc la contrainte sur les pertes maximum sera certainement active. Or, en supposant les dimensions du transformateur fixées, le flux F est proportionnel au champ magnétique B et le courant I_t est proportionnel à la densité de courant J dans les conducteurs. On peut donc écrire les pertes magnétiques sous la forme

(S01-92a)pertes magnétiques = k₁ F^h

et les pertes Joule sous la forme

(S01-92b)pertes Joule = k₂ I_t²

La contrainte sur la somme des pertes s'écrira donc sous la forme

(S01-93) k₁ F^h + k₂ I_t² = p_max

Pour appliquer la méthode de Lagrange, nous formons la fonction

(S01-94) F I_t + l ( k₁ F^h + k₂ I_t² - p_max)

où l est le multiplicateur de Lagrange.

En dérivant la fonction (S01-94) par rapport à F puis par rapport à I_t, on obtient les deux équations suivantes

(S01-95a) I_t + l h B^{h - 1}

(S01-95b) F + l 2 k₂ I_t

En multipliant (S01-95a) par F et (S01-95b) par I_t et en comparant les résultats, on voit immédiatement que l'on doit avoir

(S01-96) h k₁ B^h = 2 k₂ I_t² ,

ce qui montre, en utilisant les expressions (S01-92), que le rapport entre les pertes magnétiques et les pertes Joule doit valoir 2 / h . Puisque le coefficient de Steinmetz h est proche de 2, on voit que l'on a une quasi égalité des pertes magnétiques et des pertes Joule.

Connaissant la répartition des pertes p_max entre pertes magnétiques et pertes Joule, il est facile de calculer chacune de celles-ci. On a

(S01-97a) pertes magnétiques = p_max 2 / (h + 2)

et

(S01-97b) pertes Joule = = p_max * h / (h + 2)

De (S01-97), on déduit les valeurs de h et I_t à réaliser. Ces valeurs dépendent de la fréquence électrique, mais pas des nombres de spires car ceux-ci s'éliminent lorsque l'on effectue le produit de (S01-90) et (S01-91). En fait, les nombres de spires peuvent être ajustés après coup de façon à obtenir les niveaux de tension imposés (les niveaux des courants I₁ et I₂ se trouveront fixés à ce moment).

Avertissement : cet exercice passe sous silence un certain nombre de considérations pratiques et ses conclusions doivent donc être utilisées avec prudence. En particulier, les transformateurs destinés à être alimentés par le réseau public de distribution d'énergie électrique sont conçus de façon à pouvoir supporter une tension supérieure à leur tension nominale, ceci afin de prendre en compte la tolérance qui est admise sur la tension de ce réseau.

Dernière mise à jour le 02-07-2002