Commentaire S02-4 : Modélisation de caractéristiques non linéaires
Comme une fonction comporte une infinité de points, il est clair que l'on ne peut pas les mettre tous en mémoire.
Pour décrire une caractéristique non linéaire, on utilise donc toujours une ou plusieurs fonctions analytiques (parfois de façon implicite). Ces fonctions peuvent comporter un certain nombre de paramètres que l'on ajuste de façon à obtenir une bonne approximation.
D'un point de vue calcul, il faut distinguer deux cas.
cas a : la ou les fonctions utilisées sont constituées d'une combinaison linéaire de fonctions plus simples, les paramètres à déterminer étant uniquement les coefficients des différents termes. Cette façon de faire est intéressante du point de vue calcul car elle permet d'utiliser les ressources de l'algèbre linéaire (calcul matriciel...).
cas b : les paramètres interviennent de façon non linéaire (par exemple comme constantes de temps d'exponentielles, ou encore comme exposant de certaines puissances). Cette façon de faire est souvent justifiée par une meilleure adéquation à la physique du phénomène, mais complique les calculs numériques car il faut dans ce cas faire appel à l'algèbre non linéaire, et les solutions ne peuvent souvent être obtenues que par approximations successives.
Les deux cas ci-dessus peuvent d'ailleurs être combinés. On peut alors utiliser l'algèbre linéaire pour traiter une partie du problème.
Une autre distinction porte sur le nombre de fonctions utilisées.
Dans certains cas, on utilise une seule fonction pour décrire l'ensemble de la caractéristique. Cette façon peut (ou doit) alors être relativement sophistiquée.
Dans d'autre cas, on préfère utiliser un nombre plus élevé de fonctions, afin de pouvoir choisir des fonctions plus simples sans détériorer la précision.
La façon la plus simple d'y parvenir consiste à découper le domaine de la fonction en un certain nombre d'intervalles. Sur chaque intervalle, on utilise alors une fonction simple (linéaire ou polynomiale dans beaucoup de cas). On peut dans ce cas parler de méthode de calcul par "éléments finis".
Une autre façon de procéder consiste à utiliser des intervalles qui se chevauchent, afin de faciliter le raccord entre les différentes fonctions utilisées. On peut alors parler de méthode de calcul par "logique floue".
Une troisième distinction concerne la liaison avec un modèle physique
Certaines fonctions sont choisies uniquement pour leurs propriétés mathématiques, de façon à pouvoir effectuer certains développement de façon analytique.
D'autres fonctions, au contraire, ont été choisies par référence à un modèle physique. Dans beaucoup de cas, ce modèle physique s'est avéré faux par la suite, mais le fait de découler d'un modèle fait malgré tout que ces fonctions ont des caractéristiques intéressantes et que l'on continue à les utiliser malgré la faillite du modèle.
Dernière mise à jour le 18-09-2002