ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 2 : Utilisation d'un modèle "circuit"
Guidance
Éléments non linéaires
Cette page considère des éléments non linéaires, mais en se limitant aux éléments à une seule branche et à caractéristique univoque.
La façon la plus simple de définir sans ambiguïté ces éléments est de le faire en remplaçant les équations (S02-20a), (S02-22a) et (S02-24a) respectivement par
(S02-28) y = y(i) pour une inductance,
(S02-29) q = q(u) pour une capacité et
(S02-30a) u = u(i) pour une résistance.
Commentaire S02-4 : modélisation de caractéristiques non linéaires.
Une autre approche consiste à rendre les coefficients C, L et R fonction des grandeurs électriques MAIS il faut être prudent dans l'utilisation de cette méthode car cela peut se faire (et se fait effectivement) de plusieurs façons différentes.
Nous allons développer le cas des inductances pures (le cas des capacités et des résistances pures se développe de la même façon). A partir de l'équation (S02-29), on peut définir
- l'inductance différentielle par
(S02-31) 
- l'inductance "totale" par
(S02-32) 
- et l'inductance "effective" par
(S02-33) 
où wm est l'énergie magnétique.
Il s'agit bien là de trois notions différentes. Chacune a ses avantages et ses inconvénients, de sorte que les trois définitions ont des raisons de survivre.
Il existe des formules de transformation permettant de passer d'une définition à l'autre. On a par exemple
(S02-34) 
Il faut noter que l'on trouve dans d'autres domaines la même multiplicité de définition. C'est par exemple le cas, en thermique, pour la capacité calorifique.
Exercice proposé S02-20 : calcul de la valeur numérique selon les trois définitions de l'inductance.
Exercice proposé S02-21 : démonstration de la formule (S02-34).
Exercice proposé S02-22 : expression de
L en fonction de 
.
Hélas ! Les dénominations et les symboles utilisés pour distinguer les différentes notions de coefficient d'inductance ne sont nullement normalisées, et beaucoup d'auteurs ne semblent même pas conscients de l'existence de plusieurs notions. La notation L peut donc désigner n'importe laquelle des trois notions ci-dessus, voire une notion différente. Or, comme l'exercice S02-20 le montre, les valeurs numériques peuvent être très différentes selon que l'on utilise l'une ou l'autre notion.
Avant d'utiliser un coefficient d'inductance, il faut donc impérativement, en présence de non linéarités, se demander
Négliger cette précaution peut vous faire commettre des erreurs énormes même si vous utilisez un logiciel de haut niveau !
Exercice proposé S02-23 : exemple de paradoxe
Il existe d'autres façons d'aborder la définition d'une inductance non linéaire. C'est ainsi que l'on peut, au lieu de la relation (S02-28), poser la fonction de coénergie wcm(i) dont on déduit
(S02-35) 
comme au paragraphe 2.5.2. du LIVRE.
La tension de l'inductance s'écrit alors, en rapportant (S02-35) dans (S02-8) compte tenu de (S02-14b).
(S02-36) 
Cette équation n'est autre qu'une équation lagrangienne, la fonction de coénergie jouant le rôle du lagrangien. Il est donc possible d'utiliser pour l'analyse des circuits les méthodes de la mécanique rationelle.
Une autre formulation, plus récente et pas encore exploitée, est la formulation ligurienne (voir questions spéciales d'ici quelque temps).
En électrotechnique, on considère souvent des éléments inductifs dans lesquels les deux termes de (S02-8) peuvent prendre une valeur non nulle. Dans ce cas, en introduisant dans cette équation (S02-28), (S02-32) ou (S02-35) , on obtient respectivement
Souvent, mais pas toujours, le terme e des équations précédentes n'est autre qu'un terme ohmique qui provient de ce que les fils de cuivre ou l'aluminium utilisés pour réaliser les enroulements électriques ne sont pas des conducteurs idéaux. L'équation (S02-8) s'écrit alors
(S02-38) 
ainsi qu'il a été fait dans le LIVRE dès la formule (2.1).
Les équations (S02-37) s'écrivent alors sous la forme
Note sur la réponse propre d'un circuit non linéaire
On sait que la réponse propre d'un circuit linéaire se décompose en un nombre fini (égal au nombre d'éléments réactifs indépendants du circuit) d'exponentielles ou de sinusoïdes.
Cette propriété n'est plus vraie lorsque le circuit comporte un élément non linéaire.
Exercice proposé S02-23b : réponse propre d'un circuit non linéaire.
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Dernière mise à jour le 10-08-2002
