Exemple de solution à l'exercice S07-16 : Étude d'un démarreur à résistance pour moteur DC

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Sachant que (R_a I_a ) vaut 1 V si I_a = 1 A et 5.5 V si I_a = 10 A , le mieux que l'on puisse faire est d'approximer (R_a I_a) par une fonction linéaire de I_a . La pente de cette droite vaut

(S07-160)

et son ordonnée à l'origine

(S07-161) 1 - 0.5 * 1 = 5.5 - 0.5 * 10 = 0.5 V

Donc

(S07-162) R_a I_a = 0.5 + 0.5 I_a si I_a > 0

La formule (S07-161) n'est valide que si I_a est positif : à courant négatif, il faudrait changer le signe du terme constant.

A vide, si on néglige les pertes mécaniques et magnétiques, le courant I_a est négligeable. On se trouve donc à la limite de validité de (S07-161). On peut donc considérer que R_a I_a est nul ou encore qu'il est égal à 0.5 V . C'est la seconde hypothèse que nous choisissons.

On a alors, en introduisant dans l'équation

(S07-163) E = k F w_m

les valeurs

(S07-164) E = 220 -0.5 = 219.5 V

et en convertissant la vitesse de 1400 t/m en rad/s ,

(S07-165)

Ce facteur est aussi celui qui donne le couple électromagnétique

(S07-166) C_em = k F i_a

Le fait d'avoir utilisé un courant d'excitation aussi grand que possible permet d'obtenir lors du démarrage un facteur k F et donc un couple électromagnétique plus élevé, d'où une accélération plus grande. De cette façon, on raccourcit la durée du démarrage, et donc aussi l'énergie dissipée dans la résistance de démarrage. Une fois le démarrage terminé, la vitesse sera cependant inférieure à la vitesse nominale et il faudra une fois le démarrage terminé réduire i_f si l'on veut atteindre cette vitesse.

Pour établir un circuit équivalent "tout électrique", égalons les dérivées temporelles des deux membres de (S07-163), soit

(S07-167)

Or, puisque l'on a négligé le couple de pertes mécanique et magnétique, l'accélération est proportionnelle au couple électromagnétique, soit

(S07-168)

où J est l'inertie mécanique.

En introduisant l'expression de l'accélération tirée de (S07-168) dans (S07-167), on obtient

(S07-169)

Pour obtenir une équation "tout électrique", il suffit de remplacer dans cette expression C_em par son expression (S07-166). On obtient ainsi

(S07-170)

ou encore, en posant

(S07-171)

(S07-172)

Cette expression n'est autre que celle d'une capacité idéale de la théorie des circuits. Compte tenu de (S07-165) et de la valeur de J, la valeur de cette capacité est de

(S07-173)

On notera la valeur énorme de cette capacité par rapport aux valeurs couramment utilisées en électronique.

Le circuit équivalent de la machine non chargée, vue du stator, consiste donc en la mise en série d'une source de tension (S07-161), d'une résistance (S07-160) et de la capacité (S07-173). La force électromotrice E est la tension de cette capacité.

Pour un démarrage rapide, le courant i_a durant le démarrage doit atteindra sa valeur la plus élevée possible, soit aux premiers instants

(S07-174) i_a = 10 A + 20% * 10A = 12 A

Aux premiers instants du démarrage, la vitesse est nulle, donc aussi la force électromotrice.

Pour limiter le courant à la valeur (S07-174), on doit donc ajouter en série avec l'induit une résistance R_d .

Le courant aux premiers instant du démarrage obéit alors à l'équation

(S07-175) U_alimentation = R_d i_a + U_a = R_d i_a + (R_a i_a) = R_d i_a + 0.5 + 0.5 * i_a

On en déduit la valeur de R_d

(S07-176)

Une fois que la machine commence à tourner, une force magnétomotrice apparaît et augmente progressivement. L'équation à laquelle le courant obéit est maintenant

(S07-177) U_alimentation = R_d i_a + 0.5 + 0.5 * i_a + E

Le courant diminue donc (hélas, car le couple diminue aussi et donc la durée du démarrage s'allonge par rapport à celle qui serait réalisée si on pouvait maintenir le couple constant). Au moment où l'on termine le démarrage en court-circuitant R_d , le courant augmente brusquement. Le courant obtenu à ce moment obéit à l'équation

(S07-178) U_alimentation = U_a = (R_a i_a ) + E = 0.5 + 0.5 * i_a + E

On souhaite effectuer cette opération le plus rapidement possible, de sorte que le courant prendra à cet instant la même valeur (12 A) qu'au début du démarrage. On en déduit la valeur de E qui doit être atteinte avant de procéder à l'opération.

(S07-179) E = 220 - 0.5 - 0.5 * 12 = 213.5 V

Cette valeur est atteinte au moment où le courant i_a (avec la résistance de démarrage insérée) est tombé à une valeur que l'on peut déduire de (S07-177), soit

(S07-180)

Il faut donc attendre que le courant i_a soit tombé à une fraction

(S07-181)

de sa valeur initiale avant d'éliminer la résistance de démarrage.

Le circuit équivalent "tout électrique" montre que, tant que la résistance de démarrage est insérée, le courant i_a décroît exponentiellement, soit

(S07-182)

avec une constante de temps

(S07-183) t = (R_d + 0.5) * C = 4.08 sec

Le rapport (S07-81) sera donc atteint après un temps t tel que

(S07-184)

soit

(S07-185) t = - ln (0.027335) * t = 14.69 sec

La puissance dissipée dans la résistance de démarrage vaut

(S07-186)

Il suffit d'intégrer cette puissance entre l'instant initial et l'instant (S07-185) où la résistance de démarrage est éliminée pour obtenir l'énergie qui y est dissipée pendant la durée du démarrage, soit

(S07-187)

En pleine charge, le facteur kF vaut

(S07-188)

Le couple en pleine charge vaut donc (on néglige le couple de pertes mécanique et magnétique)

(S07-189) C_{ut nom} = 1.1379 * 10 = 11.379 Nm

Donc, le couple à mi-charge vaut

(S07-190) 11.379/2 = 5.689 Nm

Si on effectue le démarrage en demandant ce couple au moteur, le courant de démarrage ne tendra plus vers zéro après un temps long mais vers une valeur finie.

Sachant que, lors du démarrage, le facteur kF prend la valeur (S07-165), on peut calculer cette valeur

(S07-191) limite i_a = 5.689 / 1.4972 = 3.8 A

Comme on ne peut court-circuiter la résistance de démarrage tant que le courant i_a est supérieur à (S07-180) , on voit que le démarrage à mi-charge ne pourra jamais être terminé (autant dire qu'il est impossible).

Dans le cas d'un démarreur à deux section, la résistance totale du démarreur aura la même valeur (S07-176) que dans le cas du démarreur à une section.

Pendant la première phase du démarrage, le courant ira en décroissant selon la même expression (S07-182)(S07-183).

Cependant, comme on conserve après avoir court-circuité la première section du démarreur la résistance de la seconde section pour limiter le courant, on pourra court-circuiter la première section beaucoup plus tôt. L'instant optimum pour ce faire dépend de la valeur de la résistance de la seconde section. Il est choisi de telle sorte que le courant i_a remonte à cet instant à la valeur maximum 12 A , de sorte que le couple et donc l'accélération seront renforcés pendant la seconde partie du démarrage, qui pourra ainsi être plus courte.

La répartition de la résistance (S07-176) entre les deux sections du démarreur peut résulter d'un calcul d'optimisation (par exemple du temps total du démarrage). Nous laissons ce calcul, qui nécessite la résolution d'une équation implicite, aux lecteurs intéressés. La résistance de la seconde section est en général nettement plus petite que celle de la première.

Le fait de pouvoir court-circuiter les sections du démarreur pour une valeur du courant i_a plus grande que (S07-180) présente aussi un intérêt si une charge est présente lors du démarrage. Il se peut que, dans ce cas, le démarrage avec une charge redevienne possible. Ici aussi, nous laissons au lecteur intéressé le soin de trouver la façon de partager R_d qui rend aussi grande que possible la valeur minimu atteinte par i_a lors du démarrage, et le couple qui y correspond.

Dernière mise à jour le 22/05/2003.