FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 2 : Électrostatique (seconde partie)
Guidance

Définition

Étant donné une permittivité e, on peut définir la polarisation électrique comme

(S02-50)

En général, c'est la permittivité du vide e_o qui est utilisée dans la définition (S02-50), mais ce n'est pas une fatalité.

La définition (S02-50) peut avoir plusieurs motivations. Sur cette page, nous n'envisageons que l'application au calcul des champs.

Pour cela, on associe à la polarisation électrique un champ auquel on impose de vérifier les équations

(S02-51a)

(S02-51b)

On peut alors décomposer le champ électrique en deux parties, dont l'une est le champ introduit ci-dessus, soit

(S02-52)

En combinant (S02-50)(S02-51a) et la loi de Gauss locale (S02-1), on arrive à la conclusion que le champ vérifie

(S02-53)

Cela signifie que le champ est celui qui existerait si le diélectrique considéré était remplacé par un milieu linéaire de permittivité e.

Utilisation pour le calcul des champs

....................

(S02-54)

Modèle gaussien des diélectriques

Considérons un bloc de matière polarisée électriquement. Isolons une colonne de section DS (figure S02-3) et partageons-la en petits morceaux de hauteur Dz (figure S02-3b).

Figure S02-3 : Contribution de la matière au champ électrique

Chaque petit morceau possède un moment dipolaire , où DV = DS Dz est le volume du morceau. Du point de vue du champ électrique engendré à grande distance de ce petit volume, c'est-à-dire presque partout dans l'espace, y compris à l'intérieur du bloc polarisé, on peut le remplacer par un petit cylindre de hauteur Dz , constitué de vide mais portant des charges ± q = ± P DS sur ses bases.

On effectue la même opération pour chaque petit morceau et on reconstitue le volume initial du bloc polarisé : il se trouve donc en fait remplacé par un domaine, vide mais comportant une distribution de charges, qui engendre presque partout le même champ électrique que le bloc polarisé initial. Le "presque partout" signifie que, si l'on cherche le champ électrique en un point à l'intérieur du corps polarisé, on ne sait pas en principe tenir compte correctement de l'influence des petits volumes proches du point considéré parce que leur influence devient infinie. Il faudrait donc additionner des termes infinis (mais de signes différents) pour arriver à un résultat fini ! Toutefois, on peut montrer (mais cela demanderait un développement théorique que nous ne ferons pas ici) que l'équivalence ci-dessus est valable à la limite en tout point du volume du diélectrique, et ceci sans restriction. Il nous reste à déterminer ce que vaut la distribution de charges équivalentes à la limite ; nous appellerons ces charges "charges de polarisation" puisqu'elles tiennent compte de la contribution de la matière polarisée.

Supposons d'abord que la polarisation soit uniforme. Lorsque nous empilons tous les petits cylindres, les charges identiques, mais de signes contraires, se neutralisent deux à deux, à l'exception des charges sur les faces qui coïncident avec la surface extérieure. On a représenté, à la figure S02-4 , le volume supérieur de la colonne de la figure S02-3b.

Figure S02-4 : Charge équivalente de surface

La charge q = P DS se répartit sur la surface DS' = DS / cos q où q est l'angle entre P et la normale unitaire n dirigée vers l'extérieur du bloc polarisé. La surface du bloc polarisé est donc couverte d'une distribution équivalente de charges de surface de densité surfacique q/DS' , soit

(S02-16)

où l'indice p rappelle qu'il s'agit de charges de polarisation.

Si la polarisation n'est pas uniforme, l'empilement des petits cylindres d'une colonne donnera la situation de la figure S02-5 pour le cas d'une variation de P_z par rapport à la coordonnée z .

Figure S02-5 : Polarisation non uniforme

Les charges équivalentes sont représentées à la figure b et les charges résultantes à la figure c. On voit qu'il apparaît une distribution équivalente de charges de volume, de densité volumique

Mais comme on a les relations suivantes entre charges et polarisations

q = P_z DS q + Dq = (P_z + D P_z )DS

la charge Dq vaut D P_z DS , de sorte que la densité devient

On aura évidemment des contributions semblables si les composantes P_x et P_y varient respectivement suivant x et y . La charge équivalente totale sera donc

(S02-17)

(on verra au cours de mathématique que le membre de droite n'est rien d'autre que l'opposé de la divergence de ).

En conclusion, du point de vue du calcul du champ (macroscopique) , la matière polarisée peut être remplacée par une distribution de charges fictives de volume et de charges fictives de surface, réparties respectivement dans tout le volume et sur la surface du corps polarisé, avec les densités (S02-17) et (S02-16).

Ces charges fictives sont appelées "charges de polarisation". Par opposition, on parle de "charges libres" lorsque l'on veut préciser que les charges considérées n'incorporent pas de charges de polarisation.

Revenons maintenant à l'interprétation de notre expérience de départ décrite ci-dessus.

Les charges réelles q sont réparties sur les armatures conductrices du condensateur avec une densité surfacique s . Si les plaques sont suffisamment rapprochées pour que l'on puisse négliger les effets de bord, ces densités s sont uniformes sur toute la plaque et valent s = q/S. Le champ électrique qui y est associé est donné entre les plaques par la formule S01-21b, dont la norme peut s'écrire, compte tenu de (S02-9)

(S02-18)

Figure S02-6 : Interprétation de l'expérience de la figure S02-1

Lorsque nous introduisons le bloc diélectrique, on peut supposer (toujours en supposant les plaques assez rapprochées pour pouvoir négliger les effets de bord) que celui-ci se polarise uniformément. Si nous remplaçons le diélectrique par son modèle gaussien, sa polarisation peut donc être remplacée par des charges de polarisation localisées sur les faces supérieures et inférieures du bloc, de densité surfacique

s_p = P

puisque, dans le cas, la polarisation est uniforme comme le champ électrique qui la provoque, de sorte que la densité de volume (S02-17) est nulle. On obtient le modèle équivalent de la figure S02-6b . Comme, dans ce modèle, il n'y a plus que des charges et du vide, on peut distinguer un champ associé aux charges s par (S02-18) , et un champ électrique associé aux charges s_p , que nous noterons , de sens opposé à et de norme

Le champ résultant est donné par

et est évidemment plus petit en norme que le champ , ce qui explique la diminution de la tension mesurée. En tenant compte des deux relations précédentes, on a encore

On remarque que l'on a

(S02-19a)

ou, ce qui revient au même

(S02-19b)

Dernière mise à jour le 06-09-2003