Exemple de solution à l'exercice proposé S02-1F
: champ
associé à une
surface plane chargée
On commence par établir, par des considérations de symétrie, que le
champ est perpendiculaire au plan et qu'il a la
même valeur en tout point d'un plan parallèle au plan chargé. En outre, il
a la même valeur absolue, mais avec des sens opposés, en deux points se
correspondant par une symétrie miroir par rapport au plan chargé.
Pour cela, on doit supposer que le milieu a une symétrie aussi bien pour une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan, une translation dans une direction parallèle au plan ou une rotation de 180° autour d'un axe contenu dans le plan chargé.
On considère alors un cylindre fictif disposé symétriquement à cheval sur le plan chargé (voir figure S02-23).
Figure S02-23 : surface cylindrique utilisée pour l'application de la loi de Gauss
Soit S est la portion de la surface du plan contenue dans ce cylindre, donc aussi la surface
de chacune des bases du cylindre. Puisque le champ
est perpendiculaire au plan, la contribution de la surface latérale à
l'intégrale de Gauss est nulle. Puisque le champ
est le même sur les deux bases du cylindre,
l'intégrale de Gauss vaut
(S02-66) 2 S D
Par ailleurs, la charge contenue dans le cylindre vaut
(S02-67) s S
En égalant les expressions (S02-66) et (S02-67) conformément à la loi de Gauss, on obtient la valeur du champ
(S02-68)
On remarque que cette valeur ne dépend pas de la distance au plan chargé du
point considéré, ce qui n'est vraisemblable en pratique que si l'étendue
de la surface plane considérée est grande (par rapport à la distance
entre cette surface et le point où on calcule le champ
.
Dans le vide, la solution (S02-67) correspond parfaitement à celle de l'exercice
S01-12 , pourvu que l'on admette la relation
(S02-3). On remarque que le calcul de
par la loi
de Gauss est beaucoup plus simple que le calcul de
par la loi de Coulomb.
Dernière mise à jour le 31-08-2001