FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 2 : Électrostatique (seconde partie)
Guidance

Pour décrire les phénomènes électriques, beaucoup d'auteurs utilisent, en plus du champ , un second vecteur , que l'on appelle habituellement "déplacement électrique". L'usage réserve le nom de "champ électrique" au seul vecteur .

L'unité choisie pour donner la valeur du champ est en général choisie de telle sorte que la loi de Gauss s'écrive sans faire intervenir aucune constante physique, soit en unité de charge par unité de surface (en C/mē dans le système international). La loi de Gauss s'écrit alors

(S02-1)

La formule (S02-1) peut s'énoncer en disant que la charge libre contenue dans un volume est toujours égale à l'intégrale du champ à travers la surface extérieure de ce volume. Pour obtenir le signe correct, l'élément de surface doit être orienté vers l'extérieur du volume.

Commentaire S02-1 : pourquoi a-t-on ajouté ci-dessus l'adjectif "libre" à propos des charges ?

Sous la forme (S02-1), la loi de Gauss est utilisable aussi bien en présence qu'en l'absence d'isolants autres que le vide.

Considérant une surface S quelconque (pas nécessairement fermée), l'intégrale de surface de sur S porte le nom de flux du champ . On posera

(S02-2)

La loi de Gauss (S02-1) peut alors s'énoncer en disant que la charge contenue dans un volume donné est égale au flux du champ à travers la surface de ce volume.

L'équation (S02-2) peut encore s'écrire

(S02-2b)

où D_n est la composante du champ normale à la surface S.

Lorsque le champ est uniforme sur la surface S considérée, l'équation (S02-2) se réduit donc à

(S02-2c)

Le lecteur qui le souhaite trouvera une introduction élémentaire à la notion de flux (qui utilise une comparaison avec le flux de lumière venant du Soleil) dans le cours de cours de Physique de Michael Richmond (Rochester Institute of Technology)

Exercice proposé S02-1 : réflexion sur l'aspect mathématique de la loi de Gauss.

Considérons les lignes de champ de , c'est-à-dire les lignes en tout point tangentes au champ . Considérons maintenant un tube dont la surface latérale est formée de telles lignes (cf. figure S02-7). On peut en faire une surface fermée en "bouchant" les extrémités du tube par deux bases S₁ et S₂ . Nous supposons la base S₁ orientée vers l'intérieur du tube tandis que la base S₂ sera orientée vers l'extérieur du tube.

Figure S02-7 : tube de flux.

Il est clair que l'intégrale du champ sur la surface latérale du tube est nulle, puisque le champ D est tangent à cette surface par définition des lignes de champ.

La loi de Gauss (S02-1) se ramène donc à dire que le flux F_{D S2} de sur la base supérieure S₂ du tube est égale au flux F_{D S1} sur la base inférieure du tube augmenté de la quantité de charge électrique libre présente à l'intérieur du tube.

Si le tube ne contient aucune charge libre, les flux F_S1 et F_S2 sont donc égaux. Le tube de flux de la figure S02-7 apparaît alors comme un "tuyau" qui transporte un flux F_D sans pertes de l'entrée S₁ à la sortie S₂ .

La considération des tubes de flux permet une représentation graphique intéressante du champ en un point quelconque P. Pour cela, on décompose l'espace au voisinage de P en une série de tubes de flux transportant chacun le même flux élémentaire, que nous supposons pour la simplicité égal à l'unité, soit 1 coulomb. La norme du champ est alors égale à la densité de tubes de flux au voisinage de P , c'est-à-dire le nombre de tubes qui traversent une surface unitaire perpendiculaire aux tubes. On notera que, lorsque les tubes sont plus larges, cela signifie que le champ est plus faible puisque le nombre de tubes par unité de surface est plus petit.

Pour fixer les idées, la figure S02-8 donne un exemple de représentation à trois dimensions par un ensemble de tubes de flux.

Figure S02-8 : ensemble de tubes de flux.

Lorsque la région de l'espace où l'on représente le champ de déplacement ne contient pas de charges électriques libres, les tubes de flux ne peuvent pas se terminer dans cette région. Par exemple, la figure S02-9 donne une représentation du même type pour le champ associé à une charge ponctuelle de 36 coulombs entourée d'un espace uniforme sans charge. Toute surface fermée n'encerclant pas la charge centrale est traversée par autant de tubes de flux sortant que de tubes entrant. Sur toute surface fermée encerclant la charge centrale, le nombre de tubes de flux sortant est supérieur de 36 unités au nombre de tubes de flux entrant.

Figure S02-9 : ensemble de tubes de flux correspondant à une charge ponctuelle.

La représentation par tubes de flux ne peut se faire dans un plan que dans le cas des problèmes à deux dimensions, c'est-à-dire ceux où la composante du champ selon une des coordonnées (par exemple D_z ) est nulle partout. Dans ce cas, on convient que les flux sont indiqués pour une unité de la coordonnée ignorée (par exemple pour Dz = 1). On obtient ainsi une représentation plane où les tubes de flux sont limités par des lignes dans le plan (en réalité, ces lignes représentent des surfaces de largeur unitaire). Un exemple d'une telle représentation est donné à la figure S02-10.

Figure S02-10 : tubes de flux dans une structure formée d'une droite uniformément chargée et d'un cylindre diélectrique parallèle à cette droite.

Commentaire S02-5 : distinction entre les lignes de champ de et de .

Lorsque la région de l'espace où l'on représente contient des charges électriques libres, le nombre de tubes de flux varie. C'est en particulier le cas en présence de charges ponctuelles (centre de la figure S02-9), de charges linéiques (point singulier de la figure S02-10) ou de surface, comme dans le cas de charges portées par des conducteurs. La figure S02-11 donne un exemple de tubes de flux dans un condensateur plan (très allongé dans la direction perpendiculaire à la figure afin d'avoir un problème à deux dimensions) formé de deux électrodes métalliques séparées par du vide. Les tubes de flux sortent de l'électrode supérieure (+) et entrent dans l'électrode inférieure (-).

Dernière mise à jour le 18-09-2002