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Nous considérons que le champ à grande distance de l'inclusion est uniforme et orienté dans la direction , soit

(S02-171)

et donc

(S02-172)

En l'absence d'inclusion, ce champ serait uniforme dans tout l'espace. Un tel champ est associé au potentiel

(S02-173) V = - E_o z + constante

comme on peut s'en rendre compte en intégrant (S02-171) sur une ligne reliant l'origine à un point quelconque. La constante qui figure dans (S02-173) est le potentiel à l'origine et, puisque le potentiel n'est défini qu'à une constante près, on peut choisir la valeur de cette constante, que nous prendrons nulle par la suite.

Si une inclusion sphérique est présente, nous pouvons choisir le système de coordonnées de telle sorte que l'inclusion soit centrée sur l'origine. On aura une entrée de flux F_D du côté z<0 et une sortie de flux F_D du côté z>0 . Comme l'inclusion est conductrice, nous pouvons considérer que D est nul à l'intérieur. Par la loi de Gauss, on en déduit que l'inclusion va porter sur sa surface des charges négatives du côté z<0 et des charges positives du côté z>0.

Le raisonnement ci-dessus ne peut fournir de réponse quantitative parce que D n'est pas connu exactement. On ne peut en effet pas considérer que le champ D est égal à (S02-172) parce que ce champ est perturbé au voisinage de l'inclusion. Bien que qualitatif, le raisonnement ci-dessus permet cependant de présumer que l'effet de l'inclusion est similaire à celui d'un dipôle puisque l'inclusion porte d'un côté des charges positives et de l'autre des charges négatives.

Nous allons dès lors supposer (ce qui devra être vérifié par la suite) que le champ extérieur à l'inclusion peut se décomposer en un champ uniforme égal à (S02-171)(S02-172)(S02-173) et un champ dipolaire, c'est-à-dire de la forme (S02-151)(S02-152)(S02-153)(ref sol S17). Comme le champ dipolaire est écrit en coordonnées sphériques, ce qui est intéressant dans le cas de cet exercice puisque l'on étudie une sphère, nous allons chercher l'expression du champ uniforme (S02-171)(S02-172)(S02-173) en coordonnées sphériques. La transformation (S01-15)(p10) est utilisée. Moyennant un peu de géométrie, on obtient les composantes du champ uniforme en repère sphérique

(S02-174a)

(S02-174b)

(S02-174c)

et

(S02-175a)

(S02-175b)

(S02-175c)

avec un potentiel

(S02-176) V = - E_o r cos q

Donc, la solution que nous allons "essayer" est de la forme

(S02-177a)

(S02-177b)

(S02-177c)

et

(S02-178a)

(S02-178b)

(S02-178c)

avec un potentiel de la forme

(S02-179)

où la valeur de p est indéterminée à ce stade.

Pour que le champ obtenu de cette façon soit acceptable, il faut que le champ E vérifie la loi (S01-4) et que le champ D vérifie la loi de Gauss. Comme ces champs sont composés de deux termes qui sont des champs classiques (uniforme et dipolaire respectivement) qui vérifient tous deux ces équations, il est évident que la somme les vérifie.

Il faut aussi que les conditions aux frontières, c'est-à-dire à la surface de l'inclusion (sphère de rayon R), soit satisfaite. Cette condition est que le potentiel soit constant sur la surface de l'inclusion, ce qui revient à dire que

(S02-180)

Ce sera effectivement le cas si l'on a

(S02-181)

En reportant cette expression dans (S02-177)(S02-178)(S02-179), on obtient la solution cherchée :

(S02-182a)

(S02-182b)

(S02-182c)

et

(S02-183a)

(S02-183b)

(S02-183c)

avec un potentiel de la forme

(S02-184)

La norme du champ électrique est maximum lorsque r = R et q = 0 ou p et vaut alors

(S02-185) E_max = 3 E_o

On peut donc en conclure que les inclusions sphériques ont pour effet de multiplier localement le champ électrique par un facteur 3 , et cela quelle que soit la taille de l'inclusion.

Une étude plus approfondie montrerait que des inclusions de forme différente peuvent donner lieu à des facteurs de valeur différente (l'exercice S02-21 en est un exemple). Des inclusions de forme plus allongées pourraient donner un facteur supérieur à 3.

Il faut donc éviter autant que possible la présence d'inclusions et, comme on ne peut éliminer totalement la possibilité de présence d'une telle inclusion, il convient de prendre un facteur de sécurité sur la valeur admissible du champ électrique, surtout dans le cas des isolants dont le claquage entraîne une détérioration irréversible.

On pourrait penser que de tels dégats ont peu d'importance dans le cas de petites inclusions car limités à une zone très réduite. C'est vrai à courte échéance, mais il ne faut pas oublier que, après le claquage, cette zone devient conductrice de sorte que tout se passe comme si l'inclusion avait augmenté de taille. Un défaut minuscule peut donc se développer progressivement jusqu'à entraîner la destruction de l'isolation.

Le calcul effectué ci-dessus peut être appliqué à un autre problème, à savoir le cas d'une bosse hémisphérique à la surface d'un conducteur plan. En effet, le potentiel (S02-184) est nul sur le plan Oxy , de sorte que le champ décrit ci-dessus est aussi une solution du problème modifié.

L'amplification du champ à l'extrémité d'un conducteur allongé peut être beaucoup plus élevée. On parle à son propos du "pouvoir des pointes". Une conclusion pratique est qu'il faut veiller dans les dispositifs à tension élevée à rendre la surface des conducteurs aussi lisse que possible.

Les deux phénomènes décrits ci-dessus peuvent très bien coexister. Par exemple, si l'on a une saillance à la surface d'un conducteur et, dans la zone où le champ est le plus intense, une inclusion de petite dimension par rapport à celles de la saillance, les deux facteurs d'amplification sont à multiplier (ce qui conduit à un facteur 9 à l'approximation sphérique).

Dernière mise à jour le 16-09-2001.