FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 6 : Magnétostatique du vide (seconde partie)
Guidance

Notons tout d'abord qu'il est possible d'écrire la loi d'Ampère

(S06-1)

en ne faisant intervenir que des variables locales. Il faut pour cela que le courant i qui figure dans la loi (S04-1) puisse s'écrire sous la forme, vue en semaine 3,

(S03-4)

La loi d'Ampère devient alors

(S06-2)

où l'intégrale de surface du second membre doit être prise sur une surface dont le bord est le parcours fermé figurant dans le premier membre.

Contrairement à la loi de "Biot-Savart", la loi d'Ampère peut être considérée comme une loi locale, car il suffit qu'elle soit vérifiée sur n'importe quel "petit" parcours fermé pour qu'elle soit aussi vérifiée sur de "grands" parcours. Nous ne chercherons ici ni à formaliser cette assertion, ni à la démontrer rigoureusement.

La figure ci-dessous en donne une démonstration intuitive.

Cette démonstration est basée sur le fait que l'intégrale (S01-4) prise sur une grande boucle est égale à la somme des intégrales prises sur les petites boucles, car les parties communes à deux petites boucles sont parcourues en sens opposés, de sorte que leurs contributions à la somme des intégrales se compensent. Par ailleurs, il est clair que le courant encerclé par la grande boucle est la somme des courants encerclés par chacune des petites boucles : cela revient à dire que l'intégrale de sur une surface divisée en plusieurs parties est la somme des intégrales sur chaque partie.

Il existe une façon plus simple et plus rigoureuse d'exprimer le caractère local de la loi (S01-1). Il faut pour cela utiliser les outils de la géométrie différentielle, et notamment la notion de rotationnel.

Nous avons déjà utilisé la notion de rotationnel lors de l'étude des propriétés du champ électrique. Il n'est donc plus nécessaire de définir cette notion.

Etant donné un volume quelconque de l'espace, pourvu qu'il ne comporte pas de "trous", on a l'équivalence entre les propositions suivantes :

• l'équation (S06-1) ou (S06-2) est valable sur n'importe quel parcours fermé du volume considéré ;
• l'équation
  (S06-3)
  est valable en tout point de ce volume.

L'équation (S06-3) ne fait intervenir en chaque point que les dérivées du champ et la valeur de la densité de courant au point considéré. Le caractère local de cette équation, et donc aussi des propriétés qui lui sont équivalentes, est donc évident.

Le champ magnétique obéit à une loi de continuité aux interfaces entre milieux différents très semblable à la loi qui a été établie pour le champ électrique . La démonstration en est tout à fait similaire.

Prenons un contour rectangulaire G de hauteur infinitésimale et à cheval sur cette interface (cf. figure S06-10).

Le contour G étant fermé, la circulation du champ sur ce contour est nulle en vertu de (S01-1). Or, le long des hauteurs latérales, cette circulation est nulle (à la limite infinitésimale). Donc, la somme des circulations le long des bords supérieurs et inférieurs doit être nulle. On obtient ainsi

(S06-4)

où les indices 1 et 2 correspondent aux deux milieux différents.

Comme les vecteurs et sont de signes opposés, on en déduit que les composantes du champ tangentielles à ces bords doivent être égales pour les milieux 1 et 2. Puisque ce résultat doit être valable pour n'importe quel contour aplati, on en déduit que les composantes de tangentielles à l'interface doivent être égales :

(S06-5)

que l'on peut encore écrire

(S06-6)

où l'angle q est l'angle entre le champ et la normale à l'interface (cfr. figure S06-10).

Commentaire S06-3 : exception à la condition aux interfaces ci-dessus.

Dernière mise à jour le 03-11-2002