FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaine 7 : Magnétostatique dans la matière
Guidance

Calcul de champ utilisant la notion de circuit magnétique.

Dans certains cas, le chemin suivi par le flux magnétique est connu a priori. On peut alors exprimer le champ B comme une fonction du flux magnétique. En utilisant en chaque point séparément la relation (S07-7), on peut donc (pourvu que cette relation ne soit pas trop compliquée) exprimer le champ H en fonction du flux magnétique. On peut alors rechercher la valeur du flux magnétique pour laquelle la loi d'Ampère sera satisfaite (en présence de matériaux non linéaires, une recherche graphique ou par itérations peut être nécessaire). Une fois le flux connu, on peut en déduire la valeur du champ B en tout point du circuit magnétique en divisant le flux par la section du circuit magnétique à cet endroit. Finalement, en utilisant à nouveau la relation (S07-7), on peut obtenir la valeur du champ H en tout point.

Souvent, le circuit magnétique traverse une bobine de N spires parcourue par un courant.

On notera que l'expression du champ dans un tel dispositif n'a rien à voir avec l'expression du champ associé à la bobine en l'absence de matériaux magnétiques. En particulier, la longueur de la bobine n'intervient pas dans cette expression. Il est donc inutile de calculer le champ en l'absence de matériaux magnétiques si on souhaite seulement déterminer le champ en présence de ces matériaux.

Un des exemples le plus simples auquel vous devez pouvoir appliquer ce programme est un circuit magnétique comportant un noyau en fer (de perméabilité infinie) et un entrefer d'épaisseur e et de section S, sachant que ce circuit magnétique traverse une bobine dont on connaît le nombre de spires et le courant.

Vous devez pouvoir étendre cet exemple aux cas suivants

Lorsqu'une bobine (un solénoïde, par exemple) est placée sur un noyau en matériau ferromagnétique (fer, par exemple), les lignes de champ du champ magnétique B sont complètement modifiées. En raison de la très grande perméabilité des matériaux ferromagnétiques, si le noyau est fermé ou quasi fermé, un flux beaucoup plus important peut parcourir le circuit magnétique. Le champ qui s'étend à l'extérieur du noyau, même s'il garde le même ordre de grandeur qu'en l'absence de noyau, contribue moins au flux en valeur relative. On peut alors admettre pour calculer le flux que celui-ci est confiné à l'intérieur d'un circuit magnétique dont la géométrie correspond au noyau magnétique (figure S07-52). Par la loi de Gauss, le flux FB est alors le même sur toute la longueur du circuit.

Figure S07-51 : champ d'un solénoïde sans noyau ferromagnétique

Figure S07-52 : champ avec noyau ferromagnétique

En première approximation, on admettra que le champ B est uniforme sur toute section droite du circuit. Si S est l'aire d'une section droite, le champ B vaut donc

(S07-51)

Si la section S du circuit est constante, B est alors constant dans le noyau.

Si, de plus, tout le circuit magnétique est réalisé dans le même matériau, H est constant comme B . On peut dans ce cas évaluer aisément H par la loi d'Ampère. Celle-ci doit être écrite sous une forme valable même à l'intérieur de matériaux magnétiques, à savoir :

(S07-52)

On calcule aisément le champ H obtenu si une bobine de n spires parcourue par un courant i est placée sur le noyau.

(S07-53)

où L est la longueur des lignes de champ (supposée identique pour toutes les lignes).

Une fois H connu, on peut calculer B en utilisant la caractéristique du matériau.

Supposons maintenant que dans le noyau de la figure S07-52 nous ménagions un "entrefer" de longueur e comme à la figure S07-53. Si l'entrefer n'est pas trop grand, les lignes de champ auront plus ou moins l'allure indiquée : elles s'épanouissent dans une section Se légèrement plus grande que la section S du noyau.

Si Bm et Be désignent respectivement le champ magnétique dans le fer et dans l'air, la conservation du flux entraîne que

(S07-54) Bm S = Be Se

ou, en première approximation

(S07-55) Bm = Be

Figure S07-53

 

Comme la perméabilité dans le noyau est beaucoup plus grande que dans l'entrefer, on doit avoir, à champ B égal

(S07-56) Hm << He

D'autre part, la loi de la circulation du champ magnétique (S07-52) nous donne, à la place de (S07-53),

(S07-57) Hm L + He e = n i

Mais, puisque Hm est beaucoup plus petit que He , on peut ordinairement négliger en première approximation le premier terme de (S07-57), malgré que L soit supérieur à e et on obtient la valeur approximative suivante du champ magnétique dans l'entrefer

(S07-58)

Ce résultat peut s'étendre au cas où le champ est engendré par plusieurs bobines ; dans le cas de deux bobines, par exemple, on aurait

(S07-59)

où l'on utilisera le signe + ou le signe - selon que les courants i1 et i2 contribuent de façon positive ou négative à l'intégrale d'Ampère.

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Dernière mise à jour le 19-10-2003