Exemple de solution à l'exercice S08-10 : spire circulaire dans l'entrefer d'un électroaimant

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L'expression du champ magnétique dans l'entrefer (et dans le noyau) est

où

1) Il y a un champ électrique au point P. Pour le calculer, il faut faire appel à la symétrie cylindrique du problème. Cette symétrie n'est pas parfaite parce que la spire est coupée. Cependant, comme le point P auquel on demande de calculer le champ électrique est loin de la spire, on ne commettra qu'une erreur minime en négligeant l'influence de la spire.
On applique donc la loi d'induction à un contour circulaire, coaxial avec l'électroaimant et passant par le point P. Admettant que ce champ est le même tout le long de ce contour, on a au point P

(S08-102) 2 p 0.2 E = - p 0.2² [- 0.1 w sin (w t)]

et donc

(S08-103) E = 6.283 sin (628.3 t) (V/m)

Ce champ est tangent au cercle sur lequel on a appliqué la loi d'induction. Le signe du champ (S08-103) correspond à un sens de référence de ce contour tel que la surface encerclée soit orientée de gauche à droite sur la partie gauche de la figure.

2) Il y a aussi un champ électrique au point Q. Pour le calculer, on fait la même approximation cylindrique qu'au point 1) ci-dessus.
On applique donc la loi d'induction à un contour circulaire, coaxial avec l'électroaimant et passant par le point Q. On suppose à nouveau que le champ électrique est le même sur tout le contour. A noter que le champ magnétique n'est présent que sur une partie de la surface encerclée par le contour. On trouve ainsi au point Q

(S08-104) 2 p 0.75 E = - p 0.5² [- 0.1 w sin (w t)]

et donc

(S08-105) E = 10.47 sin (628.3 t) (V/m)

Ce champ est tangent au cercle sur lequel on a appliqué la loi d'induction. Le signe du champ (S08-105) suppose que l'on ait orienté le contour comme indiqué ci-dessus.

3) La méthode utilisée pour calculer le champ électrique aux points P et Q n'est pas applicable à l'intérieur de la spire à cause de la coupure que présente celle-ci. La symétrie cylindrique ne peut plus être invoquée dans ce cas, même de façon approchée.
En fait, à l'intérieur de la spire, le champ électrique est nul comme c'est toujours le cas dans un conducteur immobile qui n'est parcouru par aucun courant (la coupure empêche l'apparition d'un courant induit).

4) Il n'est pas nécessaire de connaître le champ électrique pour calculer la force électromotrice de la spire car celle-ci est reliée à la variation du flux magnétique encerclé par la spire. La coupure étant supposée mince, on peut en faire abstraction et considérer pour calculer le flux que la spire est un contour fermé.

5) On obtient ainsi

(S08-106) F_B = p 0.05² [0.1 cos (w t)] = 0.0007854 cos (w t) Wb

On en déduit que la force électromotrice de la spire vaut

(S08-107) - dF_B / dt = 0.493 sin (w t) (V)

6) Si la spire reste entièrement dans l'entrefer, la force électromotrice est inchangée puisque le champ magnétique est uniforme dans l'entrefer, et que le flux encerclé par la spire ne dépend donc pas de la position de celle-ci.
Par contre, si la spire se trouve en dehors de l'entrefer, le flux encerclé est nul tout comme le champ B, et la force électromotrice sera nulle.
On a bien entendu un passage progressif d'une situation à l'autre quand la spire est à cheval sur la frontière de l'entrefer.

7) Une vitesse de rotation de 60 tours/minute correspond à une vitesse de rotation de 1 tour/seconde, soit 1 Hz ou encore

(S08-108) w_r = 2 p 1 = 6.283 rad/s.

Le flux (S08-106) doit donc être multiplié par cos (w_r t). On obtient

(S08-109) F_B = = 0.0007854 cos (628.3 t) cos (6.283 t) Wb

La force électromotrice contient deux termes, chacun correspondant à l'un des deux cosinus.

(S08-110) - dF_B / dt = 0.493 sin (w t)cos (6.283 t) + 0.00493 cos (w t)sin (6.283 t) (V)

Remarque : une manipulation trigonométrique permettrait de constater que cette force électromotrice se décompose en une somme de deux termes sinusoïdaux, l'un de fréquence égale à 99 Hz et l'autre de fréquence égale à 101 Hz.

Dernière mise à jour le 21-11-2002