FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 9 : Induction (seconde partie)
APE

1. Faisons circuler un courant i₁ dans le premier enroulement et calculons le flux y₂ dans le second. Si on peut écrire y₂ = M i₁ , le coefficient M est l'inductance mutuelle cherchée. On calcule successivement

  H = n₁ i₁ / (2 p R) par la loi d'Ampère

  B = m_o H = m_o n₁ i₁ / (2 p R)

  F = B A = m_o n₁ i₁ A / (2 p R)

  y₂ = n₂ F = m_o n₁ n₂i₁ A / (2 p R)

  donc M = m_o n₁ n₂ A / (2 p R)

2. Le champ au centre du solénoïde (désigné par l'indice 1) vaut

    H = (90 i₁ / 14.5 10^-2) (cos q₁ - cos q₂)/2

  On en déduit successivement B = m_o H

  F₂ = A₂ B

  y₂ = n₂ F₂ = 7.37 10^-5 i₁ (en unités SI)

puis u₂ = d y₂ / dt

La valeur efficace de cette tension est de 0.232 V

La valeur de crête de cette tension u₂ est de 0.328 V

La valeur de crête du courant i₁ est de 14.14 A

Les deux grandeurs évoluent sinusoïdalement, avec une période de 20 ms. La tension u₂ est en avance de 5 ms sur le courant i₁.

3. L'inductance mutuelle est la même que dans l'exercice précédent.

Donc M = 7.37 10^-5 = 73.7 mH

Dans la nouvelle situation, la tension induite dans le solénoïde aura une valeur efficace de 0.232 mV

4. L = m_o n² A / l

  L'erreur est faible si l est très grand par rapport aux dimensions transversales. Dans le cas où la section est circulaire, on voit que l'erreur sur le champ est (sur l'axe) d'un facteur (cos q₁ - cos q₂)/2

  Ce facteur est très proche de l'unité si le solénoïde est long et que l'on ne calcule pas le champ trop près des extrémités !

5. On suppose le champ uniforme, donc aussi la densité d'énergie

  Le volume du tore vaut V = 4.712 10^-4 m³

  La densité d'énergie est donc de 828 J/m³

  Or, cette densité vaut (1/2) m_o H². Donc H = 36293 A/m

  L'intégrale d'Ampère fournit n i = 34 kA

  Donc n = 2850 tours

6. La densité d'énergie vaudra 143000 J/m³

  Le volume nécessaire sera de 25.13 m³

  Si le volume est réduit à 0.064 m³ , le champ doit être porté à 11.9 T

7. Le champ H vaut (symétrie...loi d'Ampère...) H = n i /(2 p r ) dans le tore et zéro ailleurs.

  Les réponses aux questions sont dans l'énoncé, sauf celles qui concernent l'énergie

  La densité d'énergie vaut, dans le tore, W_m = (1/2) m_o H² = (1/2) m_o [n i / (2 p r )]²

  Il reste à intégrer sur le volume du tore, ce qui se réduit à une intégrale simple en prenant comme élément de volume dV = 2 p r h dr

On obtient ainsi une énergie w_m = (1/2)[m_o n² h /(2 p)] ln (b/a) i²

On obtient la même expression par la formule w_m = (1/2) L i²

8. Calcul indirect du flux

Compte tenu des cas traités précédemment, il est plus facile de résoudre cet exercice de façon indirecte. Pour cela, on va remplacer le petit aimant par une petite bobine de 0.7 m² parcourue par un courant i₂ = 1 A , ce qui correspond à un moment magnétique identique à celui de l'aimant.

Le flux reçu par les bobines de Helmoltz peut alors s'écrire sous la forme

y = M i₂

où M est l'inductance mutuelle entre les bobines de Helmoltz (considérées comme formant le circuit principal) et la petite bobine (considérée comme le circuit " 2 ").

Pour calculer l'inductance mutuelle, on va procéder "à l'envers" en considérant une situation où il n'y a pas de courant dans la petite bobine et où un courant circule dans les bobines de Helmoltz. Le champ produit par les bobines de Helmoltz à l'endroit de la petite bobine est donné par une expression que vous avez surement trouvée en préparant le laboratoire n° 2 (et qui figure dans les documents utilisés, y compris la guidance ).

Le flux receuilli par la petite bobine s'obtient donc en multipliant le champ B ainsi calculé par la surface de la petite bobine (0.7 m²) et par les cosinus de l'angle q entre les axes des bobines de Helmoltz et de la petite bobine. Pour obtenir l'inductance mutuelle M , il reste à diviser ce flux par le courant i circulant dans les bobines de Helmoltz. On obtient ainsi

M = m_o (0.7155 x 225 * 0.7 / 0.085) * cos (q) = 0.01666 x cos (q) H (henry).

Revenons au cas où c'est dans la petite bobine que l'on fait circuler un courant de 1 A. Le flux obtenu dans les bobines de Helmoltz est alors de 0.01666 x cos (q) Wb (weber). C'est aussi le flux que l'on obtiendrait en plaçant l'aimant au centre du système de bobines de Helmoltz !

Calcul direct du flux

On peut arriver au même résultat que ci-dessus en considérant l'aimant comme un dipôle magnétique ponctuel. En fait, compte tenu de la symétrie du problème, seule la composante du moment magnétique de l'aimant qui est orientée selon l'axe des bobines de Helmoltz peut produire un flux dans ces dernières. Le moment magnétique à considérer est donc m = 0.7 cos (q) .

Le champ associé à ce moment magnétique est obtenu en utilisant l'expression d'un champ dipolaire (expression 4.60, page 222 du syllabus de l'ancien cours FSA1402, page 210 de la version papier) ou guidance (?).

Il faut alors intégrer ce champ sur une surface sous-tendue par une spire des bobines Helmoltz pour trouver le flux F encerclé par une spire.
La façon la plus simple d'obtenir ce flux est de considérer comme surface sous-tendue par la spire une calotte sphérique centrée sur l'origine du système. La seule composante du champ à considérer est alors la composante B_r. On obtient

F = (0.7155/2) m_o m / 0.085) * cos (q)

Il ne reste plus qu'à multiplier ce flux par le nombre total de spires (2 x 225) pour trouver le flux encerclé par les bobines de Helmoltz. On obtient bien entendu la même expression que ci-dessus.

Calcul de la tension induite

Lorsque l'aimant tourne, on a q = w t : le flux varie sinusoïdalement. Il suffit d'en prendre la dérivée temporelle pour trouver la tension induite.

u = - 0.01666 w x sin (w t )

C'est une tension alternative sinusoïdale dont la valeur de crête vaut

U_c = 0.01666 x 2 x p x 50 = 5.234 V

Puisqu'il s'agit d'une tension sinusoïdale, on obtient la valeur efficace en divisant la valeur de crête par racine de 2, ce qui fournit

U_eff = 3.7 V

Dernière mise à jour le 17-11-2004