1. Une solution exacte de ce problème est possible.
Cependant, puisque le rayon des cylindres est petit par rapport à la distance qui
les sépare, une solution approchée obtenue en supposant que les charges sont
réparties uniformément sur la surface des cylindres est acceptable.
En intégrant le champ électrique obtenu entre les points en regard des deux
cylindres, on obtient la tension en fonction de la charge. Le rapport charge/tension
fournit la capacité. On a par unité de longueur
C/L = p e / ln [(2d-a)/a] .
2. On trouve la solution à ce point par similitude avec le
point précédent. On fera bien entendu les mêmes hypothèses
simplificatrices. L'expression qui correspond à celle ci-dessus est
R L = {ln [(2d-a)/a)]} / (p s)
3. Dans ce problème, il n'y a pas de variation de charge en fonction du
temps. Donc, div J est nulle, sauf aux endroits qui servent de "source" de courant
(les deux cylindres). On dispose donc pour J d'une loi de Gauss tout à fait
analogue à celle à laquelle le champ D satisfait. Par analogie avec
le calcul du champ D entre deux cylindres chargés, on obtient pour la
densité de courant une somme (vectorielle) de deux termes de la forme
l / ( 2 p r). Sur le plan médian,
la densité de courant résultante est perpendiculaire à ce plan et vaut
J = i cos2 q / (p L d)
Pour intégrer cette densité sur le plan, on utilise l'élément
de surface
dS = L dy = L d( d tg q) = (L d / cos2
q ) dq
L'intégrale vaut (i d / p L d) L
(q2 - q1)
= (i / p)
(q2 - q1)
soit, si l'on fait l'intégrale sur tout le plan
(i / p) [ p /2
- (- p / 2] = i , c'est-à-dire tout le courant
i fourni par le générateur.
4. Il faut que q2
= - q1 = p / 4 , donc
h = tg (p /4) d = d
