Circuits glissants et non linéiques
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

La différence fondamentale entre le modèle étudié et celui d'une machine à collecteur classique est que l'induit ne reste pas fixé dans une position r donnée, mais peut se déplacer en fonction du régime de charge.

En effet, la position des points de contact n'est pas liée mécaniquement à la position de balais réels, fixés à la périphérie d'un collecteur, mais elle dépend de phénomènes électriques internes qui font que certaines diodes conduisent et d'autres pas.

L'équation électromécanique, nécessaire pour calculer la position r de l'induit, fera donc intervenir des grandeurs électriques.

Dans le cas d'une génératrice à redresseur, ce sont les diodes sur lesquelles le potentiel électrique fourni par l'induit est le plus élevé qui conduisent. Nous souhaitons cependant pouvoir calculer la position r sans faire appel à un modèle détaillé, mais uniquement au circuit glissant présenté dans la guidance.

Nous allons pour cela mathématiser la situation de la façon suivante. On considère un second circuit d'induit, fictif, que l'on désignera par l'indice "a' " et dont la position r' est quelconque. Il n'est parcouru par aucun courant, donc

(S03-185) i^a' = 0

Ce circuit " a' " se confond avec le circuit d'induit réel " a " lorsque r' = r . Les deux circuits doivent donc présenter dans ce cas le même flux magnétique

(S03-186)

et la résistance mutuelle entre les deux circuits doit obéir à la condition

(S03-187)

Lorsque r' = r et que le circuit fictif a la même vitesse que le circuit réel, soit

(S03-188)

la tension u'_a du circuit fictif est donc égale à la tension u_a du circuit réel.

Pour que l'induit occupe une position r donnée, nous admettrons qu'il faut que la tension u_a' induite sur le circuit fictif " a' " soit inférieure à la tension d'induit u_a pour toutes les valeurs de r' autres que r , mais en supposant toujours l'égalité (S03-188) des vitesses.

Pour trouver l'équation électromécanique, il suffit donc d'exprimer que la tension u'_a prend sa valeur maximum lorsque r' = r . Pour certaines formes des fonctions de couplage entre les circuits, il est possible que ce maximum n'existe pas. Dans ce cas, cela signifie que le modèle soit être modifié pour pouvoir rendre compte des phénomènes souhaités.

A titre d'exemple, nous allons établir l'équation électromécanique dans le cas le plus élémentaire. Nous négligeons pour cela les résistances des enroulements , nous supposons que l'inducteur ne comporte pas de saillances magnétiques, négligeons la saturation magnétique et supposons que tous les couplages sont sinusoïdaux.

Sous ces hypothèses, le flux du circuit réel est

(S03-189a) y_a = y_o cos r_e + L_a i^a + L_a cos (r_e' - r_e) i^a'

où L_a est l'inductance du circuit d'induit, et celui du circuit fictif

(S03-189b) y_a' = y_o cos r_e' + L_a cos (r_e' - r_e) i^a + L_a i^a'

La fonction de coénergie s'écrit donc

(S03-190) w_cm (i^a , i^a' , r_e, r_e' ) = y_o cos r_e i^a + y_o cos r_e' i^a' + (1/2)L_a (i^a)² + (1/2)L_a (i^a')² + L_a cos (r_e - r_e') i^a i^a'

Dans les équations ci-dessus, nous avons considéré le courant i^a' malgré le fait qu'il soit nul, parce que c'est indispensable pour pouvoir appliquer l'équation des circuits glissants (S01-72) des circuits glissants au circuit fictif. On obtient ainsi pour ce dernier, en supposant que l'on est en régime établi (dérivées temporelles de r, r' et i^a nulles)

(S03-191)

Cette tension est maximum lorsque r_e' satisfait la condition

(S03-192) 0 = - y_o cos r_e' - L_a cos (r_e - r_e') i^a

soit, puisque l'on doit avoir pour cette position r_e' = r_e ,

(S03-193) cos r_e = - L_a i^a / y_o

qui est l'équation électromécanique cherchée. A noter que le membre de droite est positif dans le cas d'une génératrice car le courant i^a est négatif puisque l'on a supposé u_a positif. On doit limiter les solutions à celles qui rendent (S03-191) maximum (et non minimum). Un examen de cette condition conduit à la conclusion qu'il faut retenir uniquement la valeur de r_e qui se trouve dans l'intervalle [- p/2 , 0].
On vérifie aussi que pour cette position du circuit d'induit le circuit fictif ne peut pas développer de valeur de u'_a supérieure à u_a quellle que soit la position de ce circuit.

Remarque : on notera que la valeur de r_e n'est pas celle qui rend la tension d'induit maximum. La tension d'une génératrice à redresseur est donc inférieure à celle que l'on obtiendrait avec la même machine munie d'un collecteur classique. Ce n'est en effet que lorsque le courant i_a est nul que le circuit d'induit se place en quadrature avec l'axe magnétique de l'inducteur.

Dernière mise à jour le 18-08-2004