Exemple de réponse à l'exercice proposé S07-1 : écoulement de puissance dans un réseau maillé à trois noeuds

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c) Mise en ordre des données

Comme on ne peut connaître ni la puissance active ni la puissance réactive du noeud 1, mais que l'on connaît son niveau de tension, on traitera ce noeud comme noeud bilan. Ça tombe bien, c'est justement ce noeud qui a été choisi pour servir de référence de phase ! Les phases calculées lors du loadflow seront donc directement celles qui sont demandées dans l'énoncé.

En ce qui concerne le noeud 2, puisqu'il n'y a pas de consommateur, la puissance active injectée dans le réseau est égale à celle produite par le générateur, soit 1.5 . Comme on connaît aussi la tension en ce noeud, on le traitera comme noeud PV.

En ce qui concerne le noeud 3, puisque le banc de capacité qui y est connecté ne consomme pas d'énergie active, la puissance que ce noeud "injecte" dans le réseau est l'opposé de la puissance active consommée, soit -1 . Puisqu'on connaît aussi la tension en ce noeud, on le traitera comme noeud PV

Compte tenu de ce que l'on sait des producteurs et consommateurs en chaque noeud, on peut déjà commencer à compléter les tableaux de la façon suivante :

variables auxiliaires

d) Mise en équation par la méthode des noeuds indépendants

On considère le réseau comme un circuit linéaire dont chaque nœud est un accès. Un tel dispositif peut être entièrement caractérisé par sa matrice d'admittance. Les courants aux accès s'écrivent en effet en fonction des tensions

(S07-1)

Cette expression fournit la valeur des courants entrant dans le système par les nœuds en fonction des tensions aux nœuds.

Figure S07-5

Le problème serait linéaire si on pouvait utiliser les phaseurs courants et tensions comme variables. Il devient non linéaire du fait que l'on utilise des données du type (P, |U|) ou (P,Q). Pour obtenir des équations où la puissance intervient, on utilise la définition de la puissance complexe

(S07-2)

Cependant, pour ne pas devoir prendre le conjugué de toutes les admittances, il est plus simple de considérer le conjugué de cette puissance. En prenant le conjugué de (S07-2) et en y introduisant (S07-1), on obtient

(S07-3)

On obtient ainsi une équation complexe par nœud. En décomposant cette équation en partie réelle et partie imaginaire, on obtient deux équations réelles par nœud. On peut donc espérer pouvoir déterminer deux inconnues par nœud.

On peut déterminer les admittances par inspection. Pour cela, on réalise l'expérience mentale consistant à appliquer au nœud l une tension unitaire et à mettre à la masse tous les autres nœuds (c'est-à-dire qu'on impose à leur tension d'être nulle). Dans ces conditions, les courants absorbés par les différents nœuds k correspondent aux admittances cherchées.

Si les lignes sont représentées par des circuits équivalents en P , on peut dire que

, pour k ¹ l , vaut l'opposé de l'admittance de la branche joignant le nœud k au nœud l ;

est la somme de toutes les admittances connectées au nœud l .

Dans le cadre de cet exercice, les trois lignes sont identiques (voir figure ci-dessous).

Figure S07-6

On obtient donc, en vertu des règles qui viennent d'être énoncées,

(S07-4)

(S07-5)

Donc

(S07-6)

(S07-7)

Dans le cadre de cet exercice, les tensions sont de la forme

(S07-8a)

(S07-8b)

(S07-8c)

En substituant les valeurs (S07-6)(S07-7)(S07-8) dans (S07-3), et en séparant les parties réelles des parties imaginaires, on obtient les six équations suivantes

(S07-9a) P₁ = - 10.0 sin (d₂ ) - 10.0 sin (d₃ )

(S07-9b) - Q₁ = -19.8 + 10.0 cos (d₂) + 10.0 cos (d₃)

(S07-10a) P₂ = - 10.0 sin (- d₂) - 10.0 sin (d₃ - d₂ )

(S07-10b) - Q₂ = 10.0 cos (d₂) - 19.8 + 10.0 cos (d₃ - d₂)

(S07-11a) P₃ = -10.0 sin (- d₃ ) - 10.0 sin (d₂ - d₃)

(S07-11b) - Q₃ = 10.0 cos ( d₃ ) + 10.0 cos (d₂ - d₃ ) - 19.8

Après avoir remplacé P₂ et P₃ par leurs valeurs (voir tableau ci-dessus), on constate que les équations (S07-10a)et (S07-11a) forment un système de deux équations à deux inconnues d₂ et d₃ . Une fois ce système résolu, il suffit de porter les valeurs de d₂ et d₃ dans les autres équations pour obtenir P₁ , Q₁ , Q₂ et Q₃ .

g1) Solution approchée au premier ordre

On peut résoudre le système (S07-8a)et (S07-9a) de façon approchée en supposant (ce qui devra être vérifié a posteriori) que les angles sont petits et que l'on peut donc remplacer les fonctions sinus par leur développement au premier ordre. On obtient ainsi

(S07-12a) 20.0 d₂ - 10.0 d₃ = 1.5

(S07-12b) -10.0 d₂ + 20.0 d₃ = -1.0

dont la solution est

(S07-13a) d₂ = 2./30. =0.0666 rad = 3.820°

(S07-13b) d₃ = -0.5/30. = - 0.01666 rad = - 0.9549°

L'hypothèse selon laquelle les angles sont petits est donc vérifiée.

On remplace alors les valeurs obtenues dans les autres équations, en remplaçant à nouveau les sinus par le premier terme de leur développement et les cosinus par 1 . On obtient

(S07-14a) P₁ = - 0.5

(S07-14b) Q₁ = - 0.2

(S07-14c) Q₂ = - 0.2

(S07-14d) Q₃ = - 0.2

La solution (S07-14a) est la valeur exacte car on obtient la même valeur par bilan de puissance : puisque le réseau n'a pas de pertes, la somme des puissances P₁ + P₂ + P₃ doit être nulle, donc

(S07-15) P₁ = - P₂ - P₃ = - 0.5

Les variables secondaires se calculent aisément à partir de (S07-14) et des valeurs déjà portées dans le tableau. On obtient

(S07-16a) P_G1 = P₁ + P_D1 = -0.5 + 1.0 = 0.5

(S07-16b) Q_G1 = Q₁ + Q_D1 = -0.2 + 0.5 = 0.3

(S07-16c) Q_G2 = Q₂ + Q_D2 = - 0.2 + 0.0 = - 0.2

(S07-16d) Q_G3 = Q₃ + Q_D3 = - 0.2 + 1.0 = 0.8 (condensateur)

On obtient ainsi les tableaux

variables auxiliaires

g2) Solution approchée au deuxième ordre

Si on développe les fonctions trigonométriques au second ordre, le développement des sinus reste le même, donc aussi les valeurs des angles d, par contre le développement des cosinus est modifié, donc aussi les valeurs des puissances réactives. On obtient les tableaux suivants

variables auxiliaires

On remarque que la correction apportée aux valeurs des puissances réactives est significative.

g3) Solution exacte (aux erreurs d'arrondi près)
approchée au deuxième ordre

On peut résoudre le système (S07-10a)(S07-11a) par itérations (par exemple en utilisant un programme qbasic). On obtient ainsi

variables auxiliaires

On constate que l'amélioration par rapport à la solution obtenue par un développement au deuxième ordre est minuscule.

Dernière mise à jour le 30-10-2004