Énergie solaire photovoltaïque
Semaine 7 : Principes généraux d'optimisation
Guidance

Caractéristiques des problèmes d'optimisation en électrotechnique

Les problèmes d'optimisation en électrotechnique comptent souvent parmi les "pires" (ou les "plus intéressants", question de point de vue).

• La fonction objectif est souvent connue seulement de façon implicite (comme résultat d'une sous-routine de calcul), de sorte que l'on dispose rarement de ses dérivées partielles.
  Même lorsque l'on dispose d'une expression analytique de la fonction objectif, cette expression est souvent trop compliquée pour que l'on puisse raisonnablement chercher et utiliser l'expression analytique de ses dérivées partielles.

  Dans ce dernier cas, le calcul symbolique permet cependant de résoudre cette difficulté dans les cas simples.

  Réf. : Jaime Fandino, Frédéric Wurtz, Jean Bigeon, Nouvelle méthodologie de conception de dispositifs électrotechniques, Revue Internationale de Génie Electrique. Volume 2- n° 1/1999, pages 83 à 100.

• La routine de calcul qui fournit la valeur de cette fonction objectif comporte souvent de longs calculs numériques, de sorte que le résultat est affecté d'un certain "bruit numérique" qui peut perturber la procédure d'optimisation (en particulier, ce bruit rend difficile d'estimer les dérivées partielles par dérivation numérique).
  

  Nous avons supposé dans ce texte que l'optimisation se faisait par calcul et non expérimentalement. Le problème du "bruit numérique" est similaire à celui que l'on rencontre lors d'une optimisation par maquettage successifs, les erreurs provenant alors de la difficulté des tolérances dimensionnelles et de la dispersion des caractéristiques des matériaux.

• Les contraintes sont nombreuses (contraintes dimensionnelles notamment) et il est parfois difficile de savoir a priori lesquelles seront actives en fin d'optimisation.
• Les problèmes d'électrotechnique comportent de nombreuses non linéarités (les forces sont des fonctions quadratiques des champs, l'utilisation fréquente du mouvement de rotation fait apparaître des fonctions trigonométriques, la saturation magnétique influence souvent de façon essentielle la position de l'optimum).

Figure S07-10 : peau de banane à deux dimensions. Les lignes continues sont des équivaleurs de la fonction objectif. La ligne en pointillé est le "fond de la vallée" ou la "crête". Le point noir indique la position de l'optimum.

Lorsque l'on dispose d'une expression analytique explicite de la fonction objectif, la méthode classique consiste à en chercher les dérivées (sous forme analytique) par rapport aux différents paramètres à optimiser. En écrivant que ces dérivées sont nulles au point optimum, on obtient un système d'équations (parfois linéaires, souvent non linéaires) qu'il ne reste plus (!) qu'à résoudre par les méthodes classiques.

Cette méthode est intéressante dans des cas particuliers simples où le nombre de paramètres à optimiser est petit. En électrotechnique, son usage est souvent limité aux optimisations partielles (selon une partie seulement des paramètres que l'on voudrait optimiser).

La méthode peut être étendue au cas où l'on optimise simultanément selon plusieurs paramètres entre lesquelles existe une relation de contrainte, en utilisant la méthode des multiplicateurs de Laplace.

Recherche de l'optimum par itérations successives

Comme indiqué ci-dessus, les méthodes analytiques ne conviennent souvent que pour certains sous-problèmes. Pour une optimisation plus complète, la seule solution pratique est souvent de rechercher l'optimum par itérations successives.

Compte tenu des difficultés passées en revue en haut de cette page, la routine d'optimisation choisie doit être robuste, quitte à avoir une vitesse de convergence réduite à l'approche de l'optimum.

Dans le cas d'un problème à un seul paramètre, une des méthodes les plus robustes est certainement celle de la "section dorée". Vous pouvez en trouver une description sur le site de The University of Western Australia.

Exercice S07-12 : introduction de la section dorée en optimisation

Le problème de l'optimisation par itérations successives est beaucoup plus difficile dans le cas d'une recherche selon plusieurs paramètres.

La première idée qui vient à l'esprit dans ce cas est souvent d'effectuer l'optimisation selon chaque paramètre optimisable successivement.

Cette méthode est tentante, et peut effectivement s'avérer utile pour "dégrossir" un problème, mais sa convergence est souvent extrêmement lente, comme on peut s'en convaincre en examinant la "peau de banane" de la figure S07-10 et en imaginant que l'on s'approche de l'extrêmum par des déplacement alternativement horizontaux et verticaux.

Il existe de nombreuses autres méthodes de recherche d'un optimum selon plusieurs paramètres. En présence d'une "peau de banane", la plupart des algorithmes atteindront rapidement le "fond de la vallée", mais le minimum réel ne sera souvent atteint qu'après de nombreuses itérations. Il est donc important de choisir judicieusement la méthode employée.

Un certain nombre de critères permettent de sélectionner une routine d'optimisation.

Tout d'abord, l'ensemble des paramètres optimisables peut être considéré comme formant les coordonnées d'un espace, mais munir cet espace d'une structure métrique n'a guère de sens puisque ces paramètres sont de natures très diverses (longueurs, mais aussi nombre de spires...). Le principe de parcimonie nous invite donc à éviter les méthodes qui font appel à une structure métrique, comme par exemple la méthode de la plus grande pente. Le principe d'invariance nous invite à éviter les méthodes dont le déroulement se modifie lorsque l'on remplace un ensemble de paramètres à optimiser par un ensemble équivalent.

La méthode du simplex est un exemple de méthode qui respecte ces deux principes. Nous lui accordons donc un préjugé favorable. On peut trouver sur le site de la firme GRABITECH une description de la méthode

Pour éviter un arrêt prématuré de la convergence, il n'est pas inutile d'incorporer dans la procédure de recherche de l'optimum un aspect aléatoire.

Compte tenu de la difficulté des problèmes d'optimisation en électrotechnique, le recours à des techniques de simplification peut s'avérer très rentable. Nous en parcourons quelques-unes ci-dessous.

Dernière mise à jour le 11-03-2004