Énergie solaire photovoltaïque
Semaine 11 : Modélisation des batteries
Guidance

En présence d'un courant, la tension de la batterie n'est plus égale à sa tension à vide. On a identifié trois phénomènes différents qui participent à cette différence.

La tension à vide calculée ci-dessus est la tension qui correspond à une situation d'équilibre chimique, c'est-à-dire à une situation où les concentrations de réactifs et de produits sont constantes. Or, pour qu'un courant circule, il faut que la réaction chimique se poursuive. Lorsque c'est le cas, la tension des électrodes n'est pas égale à leur tension d'équilibre E_o .

L'application d'une tension E à une électrode conduit à l'apparition d'une densité de courant qui, selon la théorie de l'activation, prend la forme

(S11-90)

où F est le faraday (charge d'une mole d'électrons), n le nombre d'électrons échangés lors de la réaction, C_O la concentration de l'oxydant et C_R la concentration du réducteur. Les coefficients k_f et k_b sont les coefficients des vitesses de réaction, et le paramètre a , nommé coefficient de symétrie, est habituellement compris entre 0.3 et 0.7 .

On peut écrire ce courant en fonction de l'écart

(S11-91) h = E - E_o ,

que l'on appelle surtension, entre la tension de l'électrode et sa tension d'équilibre. Sachant que le courant est nul lorsque E = E_o , on montre facilement l'équation de Butler-Volmer

(S11-92)

où J_o est une constante qui tient compte des concentrations et des coefficients de vitesse de réaction.

Lorsque la surtension, donc aussi le courant, sont très petits, on peut linéariser les exponentielles et obtenir

(S11-93)

Cette relation linéaire ne se maintient cependant pas pour des valeurs habituelles des courants.

Lorsque la surtension, donc aussi le courant, sont grands, l'un des deux termes est négligeable et on obtient la loi de Tafel, plus ancienne mais qui est encore utilisée par certains auteurs. Selon cette loi, on a

(S11-94) h = a + b log J

où a et b sont des constantes (qui dépendent du sens du courant).

On notera que les équations ci-dessus concernent la densité de courant à la surface des électrodes. Cette densité, si on la suppose homogène, n'est autre que i / A , où i est le courant et A la surface. En pratique, la matière active est une masse spongieuse de sorte que sa surface effective est beaucoup plus grande que la surface apparente des plaques. On peut ainsi diminuer l'importance de la surtension correspondant à un courant i donné. La surface effective A diminue lorsque la batterie se décharge puisque la quantité de matière active diminue. Il en résulte que, à courant égal, la surtension est plus grande dans le cas d'une batterie déchargée, ce qui accentue la diminution de la tension lorsque l'état de charge diminue.

On notera que le phénomène décrit ci-dessus se produit aux deux électrodes, avec des coefficients différents. Pour obtenir la surtension totale en fonction du courant, il faut donc additionner les deux surtensions correspondant au même courant. C'est nettement plus facile avec l'équation (S11-94) qu'avec l'équation (S11-91).

La relation entre courant et surtension dépend encore de la présence de catalyseurs. Les batteries destinées au démarrage des voitures contiennent des catalyseurs afin de pouvoir débiter des courants importants. Les réactions étant plus rapides, on comprend que ces batteries se sulfatent plus rapidement lors d'une décharge profonde. Il faut donc éviter d'utiliser des batteries de voiture dans une installation solaire.

L'étude ci-dessus ne tient compte que de la chute de tension qui se produit au contact entre la matière active et l'électrolyte. Pour obtenir la valeur de la tension aux bornes de la batterie, il faut encore tenir compte des chutes ohmiques qui se produise dans la batterie.

Ces chutes ohmiques se produisent principalement dans l'électrolyte. Elles dépendent de la concentration et de la température de celui-ci, car la conductivité d'un électrolyte augmente avec sa concentration et avec sa température. Dans les pays chauds, on peut donc utiliser un électrolyte moins concentré (ce qui est intéressant pour réduire la vitesse de sulfatation des électrodes des batteries plomb-acide). Dans le cas des batteries plomb-acide, la concentration de l'électrolyte diminue lors de la décharge, de sorte que la résistance de l'électrolyte augmente, ainsi que la chute de tension qu'il occasionne.

La résistance de l'électrolyte ne se limite pas à la partie de l'électrolyte contenue entre les plaques. Lorsque la batterie se décharge, il faut aussi considérer l'électrolyte contenu dans les pores de la partie de la matière des plaques qui a déjà réagit, car les ions doivent traverser cette structure pour atteindre la matière active restante. L'épaisseur de cette structure augmente lors de la décharge, ce qui est une nouvelle raison d'augmentation de la résistance interne, et donc des chutes de tension ohmiques.

Enfin, citons la résistance des plaques elle-même, puisque le courant doit aussi traverser la matière active pour atteindre le support métallique de la plaque. Il est donc important que la matière active soit bonne conductrice de l'électricité.

Il existe une troisième raison qui crée un écart entre la tension à vide et la tension réelle : lors du passage d'un fort courant, que ce soit lors de la charge ou de la décharge de la batterie, les déplacements d'ions font que la concentration de l'électrolyte n'est plus homogène. Il apparaît alors un écart de tension supplémentaire dont la polarité est toujours telle qu'elle s'oppose au passage du courant.

A noter que cet écart de tension, contrairement aux précédents, n'apparaît qu'avec un certain retard, et ne s'annule pas instantanément lors de l'annulation du courant. En fait, pour modéliser ce phénomène correctement dans le temps, il faudrait introduire des variables internes supplémentaires et des temps caractéristiques associés à ces variables.

Lorsque le courant reste constant pendant un temps suffisamment long, on peut cependant considérer qu'une situation de régime s'établit et exprimer la chute de tension comme une fonction du courant.

Rappelons que, dans le cas d'une batterie incomplètement chargée, la partie de l'électrolyte proche de la matière active est immobilisée dans les pores de la matière qui a déjà réagi, ce qui diminue beaucoup la vitesse à laquelle l'homogénéisation peut s'effectuer.

Dernière mise à jour le 26-03-2005