Exercice proposé S01-5 : exemple de fonction objectif

On souhaite réaliser un transformateur monophasé en utilisant un noyau magnétique de la forme indiquée à la figure S01-20a, le bobinage (constitué de deux enroulements) étant disposé autour de la colonne magnétique centrale (voir syllabus du cours ELEC 2310 ou ELEC 2753).

Le flux magnétique principal se partage en deux parties égales au sortir du bobinage, chaque partie parcourant une des deux colonnes externes. Ces colonnes ont une section moitié de la section de la colonne centrale, de sorte que l'on peut considérer que la section du circuit magnétique est égale à f*h, constante sur toute la longueur de celui-ci.

On se demande quelle serait la forme idéale du noyau si le but est de minimiser le coût des matériaux, mais on souhaite ne faire intervenir le prix de ceux-ci que par le rapport pr entre le prix du cuivre (au kg) et le prix du fer (au kg) afin que les résultats de l'étude ne dépendent que d'un paramètre et non deux. Donnez, sous une forme explicite, une fonction objectif convenant pour une telle optimisation.

Figure S01-20

Comme indiqué à la figure S01-20b, on suppose que la fenêtre magnétique, de section e*g, est complètement occupée par le bobinage, qui a donc une épaisseur g. On suppose aussi que le bobinage a la même épaisseur g dans la partie qui se trouve en dehors de la fenêtre et que les arrondis se font selon des arcs de cercle.

Indications : le noyau étant formé de tôles magnétiques empilées, seule une portion af de son volume est occupée par du fer. De même, les fils de cuivre du bobinage n'occupent pas toute la section du bobinage (à cause de leur forme ronde, des divers isolants et des inévitables imperfections du bobinage) ; seule une portion aCu du volume du bobinage est occupée par du cuivre. On suppose que ces coefficients de remplissage af et aCu ne dépendent pas de la forme du noyau ni du bobinage. En pratique, af est proche de l'unité alors que aCu est souvent inférieur à 50%.

On ne considérera dans cet exercice que le prix du fer (des tôles) et du cuivre (le prix des isolants peut être en partie incorporé dans celui du cuivre).

 

Exemple de réponse .

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Dernière mise à jour le 26-06-2002