ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance

Examinons maintenant une autre grandeur obtenue par multiplication d'une grandeur du premier volet avec une grandeur du second, à savoir

(S03-100) G = D x B .

Cette grandeur ne joue pas de rôle en électrotechnique car elle est nulle dans tous les cas quasistatiques.

Exercice proposé S03-.. : démontrer l'assertion ci-dessus.

Pourtant, elle va se révéler utile pour établir l'expression des forces électromagnétiques, et cette expression sera très utile même dans les cas quasistatiques.

Considérons à cet effet la dérivée temporelle de G . En appliquant les règles de dérivation et les équations d'évolution, on obtient facilement

(S03-101) - ¶_t G + S_j ¶_j [ B^j H_i + D^j E_i ] = J x B + r E + S_j B^j ¶_i H_j + S_j D^j ¶_i E_j

que nous avons écrit en partie dans le langage des composantes pour ne pas devoir utiliser de notations spéciales propres aux tenseurs.

Par référence à des situations particulières, la physique nous apprend que J x B et r E représentent des densités de force. Ces termes ne représentent cependant pas toutes les forces électromagnétiques. On dit qu'il s'agit de forces exercées " par l'intermédiaire des sources" (soit J et r ).

On peut donc considérer que l'équation (S03-101) est une équation de conservation de l'impulsion (moment cinétique). Les termes de cette équation sont des densités de force. En particulier, le premier représente la variation d'impulsion électromagnétique d'un volume élémentaire. Les autres termes ne pourront être analysés de façon complète qu'après avoir introduit des relations constitutives entre B et E d'une part, H et D d'autre part. Le principe de parcimonie nous incite cependant à effectuer immédiatement la partie de cette analyse qui peut être effectuée en utilisant uniquement les équations d'évolution. Cette analyse sera complétée au chapitre suivant.

En utilisant les règles de différentiation, on peut mettre (S03-101) sous une forme analogue à ref P17A (S03-95) mais utilisant des dérivées spatiales.

(S03-102)

où dji est le tenseur unité (toutes ses composantes sont nulles sauf celles de sa diagonale qui valent 1). Les termes de cette équation ont la dimension de densités de force.

¶ _t G peut s'interpréter comme la densité de force due à l'inertie des champs, J x B et r E sont les densités de force exercée par les champs par l'intermédiaire des sources (soit J et r ).

Les autres termes n'ont pas d'interprétation simple (sauf dans le cas linéaire instantané).

Si ces derniers termes n'existaient pas, on pourrait interpréter le tenseur

(S03-103) T^*j_i = B^jH_i + D^jE_i - W_app d^j_i

comme un tenseur de contraintes analogue à celui rencontré dans l'étude des milieux continus, mais dépendant des champs électromagnétiques. Nous verrons en semaine 5 qu'il faut pour cela modifier l'expression de ce tenseur.

Exercice proposé S03-.. : démontrer les égalités ci-dessus

Dernière mise à jour le 13-10-2002