ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance

Les expressions qui figurent dans (S03-87) ne sont pas les seuls doublets intéressants. En multipliant une grandeur du premier volet avec une grandeur du second, on forme aussi

(S03-92) S = E x H , vecteur de Poynting,

et

(S03-93) S_p = J_tot V , variante du vecteur de Slepian.

Ces deux vecteurs sont utilisés comme expression de la densité du flux d'énergie transportée par les champs électromagnétiques.

Exercice proposé S03-.. : Calculer la puissance transmise par un câble coaxial en utisant successivement (S03-92), (S03-93) avec le conducteur externe comme référence pour le potentiel, puis (S03-93) avec le conducteur interne comme référence pour le potentiel. Montrez que les trois résultats sont égaux au produit u i .

Exercice proposé S03-.. : Quelle sorte d'équivalence peut-on trouver entre (S03-92) et (S03-93) ? Démontrez-la.

Même si les deux vecteurs (S03-92) et (S03-93) sont équivalents dans la plupart des cas pratiques, c'est le vecteur de Poynting qui offre les meilleures possibilités sur le plan théorique, comme on peut le constater dans une formulation 4D de l'énergétique en électromagnétisme.

Après avoir adopté l'expression (S03-92) pour le flux de puissance, nous allons rechercher une expression pour l'énergie stockée sous forme électromagnétique.

En utilisant les règles du calcul différentiel et les équations d'évolution (S03-24) et (S03-52), on montre facilement que la divergence du vecteur de Poynting vaut

(S03-94) div S = - E . J - (¶ _tB).H - (¶ _tD).E

Par référence à des situations particulières, la physique nous apprend que le produit scalaire E.J est une densité de puissance convertie sous une autre forme (qu'électromagnétique). Ce terme ne représente toutefois pas toute la puissance convertie. On dit que E.J est la puissance convertie "par l'intermédiaire des sources" (si on appelle "sources" les grandeurs J et r ).

On peut donc considérer que l'équation (S03-94) est une équation de conservation de l'énergie. Le membre de gauche représente le flux d'énergie électromagnétique qui quitte un volume élémentaire, et le membre de droite de (S03-94) représente à la fois le résultat d'une conversion d'énergie et d'une diminution de l'énergie accumulée sous forme magnétique ou électrique. L'analyse complète de ce membre ne pourra être effectuée qu'après avoir introduit des relations constitutives entre B et E d'une part, H et D d'autre part. Le principe de parcimonie nous incite cependant à effectuer immédiatement la partie de cette analyse qui peut être effectuée en utilisant uniquement les équations d'évolution. Cette analyse sera complétée en semaine 4.

En utilisant les règles de différentiation, on peut mettre (S03-94) sous la forme

(S03-95)

où l'on a défini

(S03-96)

Les termes de l'équation (S03-95) ont la dimension d’une densité de puissance.

Le terme div S peut s'interpréter comme la densité de puissance emportée par les champs, et le terme -E.J comme une densité de puissance fournie par les " sources du champ " (J et r).

Malheureusement, les quatre derniers termes du membre de droite n'ont pas d'interprétation simple (sauf dans le cas linéaire instantané).

L'expression W_app a la dimension d'une densité d'énergie, mais on ne peut pas l'interpréter comme LA densité d'énergie stockée sous forme électromagnétique, puisque l'équation (S03-95) comporte des termes que nous ne savons pas interpréter en terme d'énergie, de sorte que cette équation ne peut pas être considérée comme l'expression de la conservation de l'énergie (sauf dans les cas simples où les derniers termes de (S03-95) se compensent). W_app n'est donc qu'une "énergie apparente", utile dans certains calculs, mais qui ne satisfait pas la loi de conservation que l'on est en droit d'attendre de l'énergie.

Dernière mise à jour le 14-10-2002