ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 4 : Caractérisation des matériaux
Guidance

Un milieu est linéaire si, connaissant deux évolutions possibles des champs dans ce milieu, toute combinaison linéaire de ces deux évolutions est aussi une évolution possible.
Cette définition a le mérite de ne pas établir de relation de cause à effet entre les champs B et H.

Relations constitutives linéaires

A chaque fréquence, les composantes des champs peuvent être représentées par des phaseurs.

Pour une fréquence donnée, il existe une relation de proportionnalité entre B et H. Cette relation comporte un déphasage, de sorte que les coefficients à examiner sont des nombres complexes.

Puisque les champs B et H ne sont pas de même variance, la proportionnalité ne peut pas être en général exprimée par un coefficient scalaire. Le coefficient doit être un tenseur. On peut poser

(S04-35) Bⁱ = µ^ij H_j

où la perméabilité magnétique µ^ij est un tenseur de poids 1 (comme B) à deux indices contravariants. En général, les composantes de ce tenseur sont des nombres complexes et dépendent de la fréquence.

On peut toujours trouver un repère orthonormé dans lequel seules les composantes de la diagonale (µ¹¹ , µ²² et µ³³ ) sont les seules non nulles. Les vecteurs de ce repère sont les directions propres du milieu. Si deux des coefficients sont égaux, le milieu a une symétrie de rotation autour de l'axe correspondant au troisième coefficient. Si les trois coefficients sont égaux, le milieu est isotrope et on peut alors parler de sa perméabilité. Ce n'est que dans ce dernier cas que l'on peut écrire

(S04-36) B = µ H

mais il faut se souvenir de ce que la relation (S04-36) est limitée aux référentiels orthonormés.

De façon duale, on aurait pu écrire à la place de (S04.25)

(S04-37) H_i = n_ij Bⁱ

où le tenseur n_ij est un tenseur de poids -1 à deux indices covariants. C'est l'inverse de µ^ij .

Dans le cas isotrope, on écrira

(S04-38) H = n B

avec la même réserve que celle exprimée à propos de (S04-36).

Si µ (ou n ) a une partie imaginaire non nulle, cela signifie qu'il existe des pertes de puissance associées au champ magnétique.

Lorsque la polarisation magnétique et la magnétisation sont définies par rapport à un matériau linéaire de perméabilité m, on a, même si le matériau considéré est, lui, non linéaire, la relation :

(S04-39) J = m M

En particulier, si on prend le vide comme milieu de référence, on aura

(S04-40) J = m_o M

Exercice proposé S04-5 :relation entre la magnétisation et la polarisation magnétique.

Le même type de relation que (S04-35) à (S04-38) existe entre J et E : par exemple, dans un milieu isotrope et en référentiel orthonormé, on aura

(S04-41) J = s E

où s est la conductivité (et son inverse r la résistivité).

Si s (ou r ) a une partie imaginaire non nulle, cela signifie qu'il existe une accumulation d'énergie associée au passage du courant (mais qui ne correspond pas à un champ électrique ou magnétique, du moins à l'échelle d'observation adoptée).

Expression des pertes

En utilisant les expressions de la page ………, on peut montrer que la densité de puissance moyenne reçue par un milieu magnétique au cours d'un cycle est

(S04-42) p = ½ Re ( iw H^* . B )

soit, dans le cas isotrope, en remplaçant H par sa valeur tirée de (S04-39)

(S04-43) p = ½ Re ( iw n* B*.B ) = ½ Im (n) w B_c²

L'expression (S04-42) montre que les pertes magnétiques sont dans les milieux linéaires proportionnelles au carré du champ.

La façon dont les pertes magnétiques dépendent de la fréquence est variable d'un milieu à un autre. Elle est décrite par une fonction A(f) :

(S04-44) p = A(f) B_c²

On considère souvent que la fonction A(f) est une fonction quadratique de la fréquence, soit

(S04-45) p = A f² B_c²

A côté des pertes magnétiques, il faut aussi tenir compte des pertes par effet Joule. On obtient

(S04-46) J^* . E = r J^* . J

où r peut être complexe.

Exercice proposé S04-6 : calcul des inductances de fuite d'un transformateur

Dernière mise à jour le 30-09-2003