ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 4 : Caractérisation des matériaux
Guidance

Dans le cas de milieux composites, on définit souvent des caractéristiques macroscopiques.

Considérons par exemple une structure stratifiée composée de couches de deux milieux de perméabilité magnétique et de conductivité électrique différentes (figure S04-9) :

Comme exemple de tels milieux, citons les empilements de tôles magnétiques (en négligeant les non-linéarités de ces tôles), un milieu continu remplaçant une succession de dents et d'encoches (en négligeant les non-linéarités des dents) et les bobinages faits de fil plat.

On peut caractériser un tel milieu par une perméabilité magnétique et une conductivité macroscopique. Cependant, ces paramètres macroscopiques ne ne peuvent pas s'obtienir comme une moyenne de volume des propriétés du modèle détaillé. Ceci est dû au fait que les paramètres macroscopiques doivent permettre d'exprimer des relations entre les champs macroscopiques. Or, la façon de prendre la moyenne des champs du mod&eagrave;le détaillé pour obtenir les champs macroscopiques dépend de la nature de ces champs ; pour le dire autrement, on souhaite que les champs macroscopiques vérifient les mêmes équations de Maxwell que le champs du modèle détaillé.

Comme le champ B intervient par des intégrales de surface (cfr loi de Gauss du champ magnétique), le champ B macroscopique s'obtiendra en faisant des moyennes sur des surfaces.

Par contre, le champ H intervient par des intégrales de ligne (cfr loi d'Ampère), le champ H macroscopique s'obtiendra en faisant des moyennes sur des lignes.

En suivant cette ligne de conduite, on arrive à la conclusion que le milieu homogénéisé: est anisotrope. Par exemple, à très basse fréquence, on aura deux valeurs de la perméabilité magnétique selon que le champ macroscopique considéré est perpendiculaire ou parallèle aux strates.

(S04-49a)

(S04-49b)

On obtient dans les mêmes circonstances des expressions de la conductivité macroscopique déjà citées par Maxwell (vers 1870).

(S04-50a)

(S04-50b)

Exercice proposé S04-7 : homogénéisation en basse fréquence de structures stratifiées

Lorsque la fréquence n'est pas nulle, il se produit un phénomène de couplage entre les paramètres électriques et magnétiques. Par exemple, les courants de Foucault à petite échelle n'apparaissent pas directement dans le modèle macroscopique, mais, comme ils gênent le passage du flux magnétique, ils ont pour effet macroscopique une réduction de la perméabilité magnétique macroscopique, alors que ces courants de Foucault dépendent des conductivités du modèle détaillé.

On obtient donc des paramètres macroscopiques qui dépendent de la fréquence même si les paramètres du modèle détaillé n'en dépendaient pas.

On obtient par exemple pour la perméabilité magnétique macroscopique dans la direction parallèle aux strates (en supposant les strates bien isolées, soit s₂ = 0 .

(S04-51) µ_// = a µ₁ (th e)/e + (1-a) µ₂

avec

(S04-52) e = (1+i) a l / (2 d )

où

(S04-53) d =

porte le nom de "profondeur de peau".

Un autre milieu composite fréquemment rencontré est celui des faisceaux de conducteurs (figure S04-10). On peut considérer que les encoches sont remplies d'un tel milieu homogénéisé.

On peut à nouveau définir des perméabilités magnétiques µ_// et µ^ , ainsi que la conductivité macroscopique s_// .

En particulier, à fréquence basse, on a

(S04-54a) (identique à (S04-49a))

(S04-54b)

et des formules analogues pour la conduction

(S04-55a) (identique à (S04-50a))

(S04-55b)

où a est le coefficient de remplissage, qui vaut

(S04-55c) a = p r₁² N

si r₁ est le rayon des cylindres qui constituent le milieu 1 et N la densité de ces cylindres (nombre de cylindres par m² ).

Exercice proposé S04-8 : homogénéisation d'un faisceau de conducteurs

A fréquence plus élevée, on a à nouveau une modification de ces formules. En supposant s₂ nul, on obtient

(S04-56b)

et

(S04-57a)

(S04-57b)s^ = 0

avec

(S04-57c)

où J_o et J₂ sont des fonctions de Bessel, log le logarithme népérien et

(S04-57d)

Des formules similaires s'obtiennent dans le cas d'un milieu continu contenant des inclusions sphériques.

La correspondance est simple dans le cas de la résistance des branches de circuit, que l'on peut exprimer sous la forme

(S04-58) R = ò ò ò (1/s_//) N.N dV

Exercice proposé S04-9 : calcul des résistances

Si s_// est complexe, la résistance (S04-58) devient elle-même complexe, ce qui signifie qu'il s'y associe une inductance. Ce phénomène est peu connu des auteurs actuels mais on en trouve déjà la mention dans le traité de Maxwell.

Les effets dus au champ magnétique nécessitent un calcul de champ. Celui-ci peut être simple dans certains cas particuliers ou si l'on peut faire l'hypothèse d'un circuit magnétique, mais il nécessite en général le recours à une méthode numérique (éléments finis) informatisées.

Le calcul d'une inductance linéaire peut être schématisé comme suit :

- choix d'un courant arbitraire

- calcul de la répartition de densité de courant J = N i correspondante (S02-..)

- calcul de champ fournissant la répartition du potentiel vecteur A

- calcul du flux par l'intégrale y = ò ò ò A.N dV (S02-..)

- calcul de L comme le rapport L = y / i

Si le dispositif comporte plusieurs enroulements, le calcul précédent n'est valable que si tous les autres courants sont nuls.

Si le dispositif comporte des aimants, il faut remplacer le flux dans l'équation ci-dessus le flux par la différence entre le flux en présence de courant et le flux en l'absence de courant.

Enfin, si le dispositif comporte des matériaux non linéaires, on peut faire le calcul pour deux valeurs proches du courant et obtenir l'inductance différentielle comme le rapport entre la variation de flux et la variation de courant.

Lorsque les matériaux magnétiques ont une perméabilité complexe, on obtient à la place de la l'inductance L un nombre complexe qui, multiplié par iw , fournit une impédance complexe Z.

Seule la partie imaginaire de Z correspond à un effet inductif, la partie réelle correspondant à des pertes magnétiques. On écrit

(S04-59) Z = R_s + i w L_s

La formule (S04-59) correspond à un schéma équivalent série de l'inductance. Il est toujours possible, à la fréquence considérée, d'utiliser plutôt un circuit équivalent parallèle formé d'une résistance R_p et d'une inductance L_p . C'est ce dernier qui est le plus utilisé.

A titre d'exemple, si on tient compte des effets ci-dessus, le circuit équivalent basse fréquence du transformateur (figure S04-11) est remplacé à fréquence plus élevée par un circuit comportant le double d'éléments, transformateur idéal non compris (figure S04.12a).

A la fréquence considérée, ce second circuit est équivalent au circuit classique en T (figure S04-12b), dont on a ainsi pu déterminer les éléments à partir d'un calcul de champ.

Dernière mise à jour le 29-09-2003