ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 7 : Énergie et force
Guidance

Nous avons vu en semaine 3 comment les grandeurs électriques (courants, flux...) peuvent être reliées à la distribution du champ.

La modélisation des matériaux vue en semaine 4 permet d'obtenir une modélisation électromagnétique complète du dispositif étudié, et donc de déterminer ces champs par calcul (les techniques utilisées pour cela seront examinées aux semaines 6 et 7).

Il est donc possible de calculer les flux en fonction des courants (ou l'inverse), ainsi que les forces électromotrices (au sens physique) correspondant à la conduction ohmique ou au glissement. On dispose ainsi d'un modèle électrique de type circuit complet.

Le modèle mécanique reste par contre incomplet car nous n'avons pas encore développé de méthode pour calculer la force (ou le couple) exercée par les phénomènes électromagnétiques sur une partie du dispositif (habituellement le rotor).

On peut envisager de déduire une telle méthode du modèle électrique global. En effet, si l'on connaît l'expression des flux en fonction des courants, on peut s'en servir pour déterminer l'expression de la coénergie en fonction des courants.

(S05-3)

voir le LIVRE formule (2.19) page 19

En dérivant cette fonction par rapport à la variable de position mécanique q ou par rapport à la variable de position du circuit r , on obtient le couple (plus généralement, en dérivant par rapport à une variable de position, on obtient une force généralisée)

(S05-4) pour un circuit filiforme

voir le LIVRE formule (2.40) page 22

ou

(S05-5) selon le formalisme des circuits glissants

L'usage de la coénergie peut être remplacé par celui de l'énergie (le choix est avant tout une question de commodité). En effet, si l'on connaît l'expression des courants en fonction des flux, on peut s'en servir pour déterminer l'expression de l'énergie en fonction des flux

(S05-8) pour un circuit filiforme

voir le LIVRE formule (2.12) page 16

En dérivant cette fonction par rapport à la variable de position mécanique q ou par rapport à la variable de position du circuit r , et en changeant le signe de la fonction obtenue, on obtient le couple (plus généralement, en dérivant par rapport à une variable de position, on obtient une force généralisée)

(S05-11)

voir le LIVRE formule (2.36) page 22

Cette méthode est suffisante en l'absence de matériaux à magnétisation permanente, car dans ce cas il suffit de supposer que la coénergie est nulle lorsque tous les courants sont nuls (ou que l'énergie est nulle lorsque tous les flux sont nuls) pour pouvoir déterminer entièrement les fonctions de coénergie à l'aide de (S05-3) ou d'énergie à l'aide de (S05-8). En présence de matériaux à magnétisation permanente, et notamment d'aimants permanents, ces fonctions ne sont plus déterminables complètement à l'aide des formules (S05-3) ou (S05-8) à cause du terme w_m0 ou w_cm0 qui y apparaît. Or, ce terme est lui aussi fonction de la position q ou r et donne donc lui à un couple dans les expressions (S05-4) et (S05-11). Ce couple est appelé "couple de détente" (voir LIVRE , page 28 et formule (5.8) page 141). La méthode ci-dessus ne détermine donc le couple qu'à ce terme près.

Pour déterminer la totalité du couple sans recours à l'expérimentation, il faut donc pouvoir calculer les fonctions d'énergie ou de coénergie directement à partir des champs. Ceci fera l'objet d'une partie des pages de cette guidance.

La méthode que nous obtenons ainsi est très générale, mais présente l'inconvénient lorsque le calcul des champs est fait de façon numérique de nécessiter un grand nombre de calcul de façon à déterminer les valeurs de la coénergie (ou de l'énergie) pour toute une série de valeurs numériques différentes des (ou des flux) courants et des positions, afin de pouvoir réaliser des dérivations numériques de cette fonction (habituellement, on détermine pour cela une fonction analytique qui rend compte correctement des points calculés, du moins de ceux qui sont voisins de celui pour lequel on veut déterminer le couple, et on dérive ensuite cette expression analytique).

Ce travail est justifié lorsque l'on veut modéliser le dispositif sur une plage étendue de variation des grandeurs électriques et mécaniques.

Il arrive aussi que l'on souhaite arriver plus rapidement à la valeur du couple, en se contentant de le déterminer pour un seul jeu de valeur des variables électriques et mécaniques.

Une façon bien connue dans la littérature et les logiciels de CAO pour arriver à ce résultat consiste à effectuer une intégrale de surface du tenseur de Maxwell. Nous allons donc définir celui-ci dans la suite de la guidance.

Une autre méthode consiste à obtenir la force en effectuant l'intégrale de volume d'une densité de force. Cette densité de force comporte un terme bien connu dans les cours élémentaires, à savoir celui qui est dû à l'action du champ magnétique B sur les courants (force Bli). Dans les dispositifs comportant des matériaux magnétiques, il existe cependant un autre terme, souvent beaucoup plus important que le terme Bli , à savoir la densité de force qui apparaît sur la surface et plus généralement toutes les inhomogénéités des matériaux magnétiques. On peut trouver pour cette densité de force diverses expressions dans la littérature. L'étude du tenseur de Maxwell permet de trouver une expression de façon rationnelle. Malgré cela, en présence de matériaux magnétiques, le calcul de la force par intégration de la densité locale de force est souvent laborieux.

Dernière mise à jour le 10-10-2002