ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 7 : Énergie et force
Guidance

Par analogie avec ce qui a été fait dans les modèles circuit, on peut définir la densité d'énergie magnétique à l'aide de l'expression

(S05-20)

Cette expression apparaît naturellement dans les cas élémentaires où la variation de champ dB est due uniquement à une variation du flux dy dans les circuits.

En effet, si nous considérons les différentielles de B et de y à la place de ces grandeurs, comme les différentielles obéissent aux mêmes lois d'évolution que les grandeurs, on peut réécrire (S03-87) et (S03-91) et obtenir

(S05-21) i dy = ò ò ò H . dB dV

On admettra donc, sans que l'on puisse parler à ce propos de démonstration rigoureuse, que l'énergie d'un dispositif peut s'obtenir comme l'intégrale de volume de la densité d'énergie (S05-20) qu'il contient, soit

(S05-22) w_m = ò ò ò W_m dV

De façon tout à fait similaire, on peut aussi définir une densité de coénergie par l'expression

(S05-23)

Cette expression apparaît naturellement dans les cas élémentaires où la variation de champ dH est due uniquement à une variation du courant i dans les circuits.

En effet, si nous considérons les différentielles de H et de i à la place de ces grandeurs, comme les différentielles obéissent aux mêmes lois d'évolution que les grandeurs, on peut réécrire (S03-87) et (S03-91) et obtenir

(S05-24) y di = ò ò ò B . dH dV

On admettra donc, sans que l'on puisse parler à ce propos de démonstration rigoureuse, que la coénergie d'un dispositif peut s'obtenir comme l'intégrale de volume de la densité de coénergie (S05-23) qu'il contient, soit

(S05-25) w_cm = ò ò ò W_cm dV

Le choix du point de référence utilisé pour faire les intégrales (S05-20) ou (S05-23) comporte un degré d'arbitraire. Dans le cas de matériaux doux, le problème ne se pose pas parce que l'on prend naturellement le point (H=0, B=0) comme point de départ des intégrations. Dans le cas de matériaux magnétiques durs, un choix doit être fait. Comme l'énergie et la coénergie n'interviennent en pratique que par leurs variations, il ne devrait pas y avoir de problème à condition de garder la même définition dans toute l'étude. Or, les manuels des logiciels commerciaux sont avares de renseignements sur le choix effectué par les auteurs du programme.

Pire, lorsque la caractéristique considérée a été décalée pour la faire passer par l'origine, comme dans la formule (S04-28), la valeur de l'énergie calculée par le logiciel (et affichée) peut être relative à la caractéristique déplacée plutôt qu'à la caractéristique originale. Cette valeur de l'énergie n'est pas correcte, et elle ne satisfait pas la loi de conservation de l'énergie.

En fait, cette énergie ne correspond pas à celle du modèle utilisé mais à l'énergie d'un modèle équivalent dans lequel la magnétisation des aimants aurait été remplacée par des courants fictif (modèle ampérien des aimants).

La figure ci-dessous montre que les valeurs obtenues peuvent être très différentes selon que l'énergie est calculée sur la caractéristique "réelle" ou sur la caractéristique "déplacée".

On définit de façon analogue à (S05-20)(S05-23) l’énergie et la coénergie électrique W_e et W_ce , ainsi que les totaux W et W_c . On peut aussi considérer la densité de Lagrangien

(S05-26) L = W_cm - W_e

Les logiciels de calcul de champ fournissent la valeur de l'énergie totale en effectuant l'intégrale (S05-20). Pour pouvoir effectuer ce calcul rapidement, ils prédéterminent la fonction W_m (B) pour chaque matériau dont la caractéristique magnétique leur a été fournie, et la mettent en mémoire comme une caractéristique du matériau. Le calcul de la valeur de l'énergie intégrée sur tout le dispositif est alors facile, du moins si les fonctions de base utilisées correspondent à un champ constant sur chaque élément fini : il suffit, un fois le champ B déterminé sur chaque élément fini, de lire sur cette caractéristique prédéterminée la valeur de la densité d'énergie de cet élément, et d'effectuer l'intégrale sur tout le dispositif. Rappelons que, dans le cas de certains de logiciels, la valeur de l'énergie mise ne mémoire ne correspond pas à la caractéristique "réelle", mais à une caractéristique translatée.

Les logiciels commerciaux de calcul proposent aussi d'autres expressions de l'énergie. Deux de ces méthodes fournissent, aux arrondis de calcul près, la même valeur. Il s'agit en fait des quantités figurant aux deux membres de (S03-87), après division par 2 . Il ne s'agit à nouveau pas d'une expression valable dans tous les cas traités par le logiciel, mais d'une expression valable seulement lorsque les champs B et H sont proportionnels (cas linéaire sans aimants).

Si le membre de droite est facile à évaluer une fois le calcul de champ terminé, le calcul du membre de gauche est plus long parce les logiciels courants ne calculent pas à la fois les champs B et H, mais seulement l'un des deux. Le logiciel doit donc pour évaluer le membre de gauche de (S03-87) refaire appel aux relations constitutives présentes dans sa mémoire.

Dernière mise à jour le 14-10-2002