ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 6 : Méthodes de calcul de champs (seconde partie)
Guidance

Maillages

Généralités

Le maillage est l'opération consistant à subdivision le domaine de calcul en éléments finis.

On distingue les maillages structurés et non structurés.

Les maillages structurés utilisent des éléments identiques disposés de façon régulière, de sorte que l'on peut facilement retrouver la position d'un élément à partir de son numéro d'ordre.

Au contraire, les maillages non structurés utilisent des éléments de tailles différentes, de sorte que l'on a besoin pour pouvoir retrouver la position d'un élément d'un fichier de données assez volumineux. Un maillage non structuré présente l'avantage de pouvoir plus facilement être adapté à une géométrie complexe (ce qui est effectivement le cas d'une machine électrique) et de pouvoir être réalisé plus finement en certains endroits particulièrement importants pour la précision du calcul (c'est notamment le cas de l'entrefer des machines). Pour cette raison, les maillages non structurés sont pratiquement les seuls utilisés en électrotechnique.

Pour définir un tel maillage, on doit noter les coordonnées d'un grand nombre de points appelés nœuds. On peut ensuite définir les arêtes (lignes joignant deux nœuds voisins) en mémorisant le numéro du nœud origine et celui du nœud extrémité.

En dimension 1, les arêtes sont les éléments finis eux-mêmes.

Dans les autres cas, on peut définir des surfaces en donnant la liste des arêtes qui les bordent cette surface ou la liste des nœuds qui constituent leurs sommets.

En dimension 2, ces surfaces sont les éléments finis eux-mêmes.

En dimension 3, ces surfaces sont appelées "faces". Les éléments finis sont des volumes limités par un certain nombre de faces.

En dimension 2, les arêtes possèdent certains propriétés des faces, car elles représentent en fait des surfaces dont une dimension est ignorée.

Les éléments finis les plus simples sont, en dimension 2, les triangles.

En dimension 3, les éléments finis les plus simples sont les tétraèdres, c'est-à-dire les pyramides à base triangulaire.

Figure 1 : ceci est un tétraèdre, soit l'élément fini
le plus simple utilisable en dimension 3

En dimension 2, on utilise pratiquement toujours comme éléments finis non structurés la forme la plus simple, à savoir des triangles. Vous pouvez trouver un exemple d'un tel maillage sur le site d'électromécanique

Propriétés générales des maillages triangulaires

Nous considérons dans ce paragraphe que le domaine de calcul est connexe (c'est-à-dire d'un seul tenant) et qu'il ne s'étend pas jusqu'à l'infini. Nous supposons aussi que le domaine de calcul ne comporte pas de "trous".

Pour mailler avec un nombre fini de triangles un domaine qui s'étend jusqu'à l'infini, on devrait introduire une nouvelle variété de triangles, appelés triangles d'infini. Certains logiciels ont effectivement recours à cette technique. La plupart se contentent d'un domaine de calcul fini. En principe, on devrait prendre un domaine assez grand pour que les champs soient nuls là où on met la frontière, ce qui conduirait à des domaines dont l'extension spatiale peut être beaucoup plus grande que les dimensions du dispositif. Il existe heureusement des techniques permettant de travailler sur des domaines plus petits (utilisation de la transformation de Kelvin...).

Nous appellerons

Il existe entre ces nombres des relations qui peuvent être utiles lors de l'écriture d'un logiciel, mais aussi lors de la comparaison entre plusieurs méthodes. Ces relations découlent de quelques constations très simples.

Puisque la frontière est une ligne fermée, on a toujours

(S07-01) n = a

Une arête interne touche toujours 2 éléments, et une arête frontière un seul. Comme chaque triangle comporte trois côtés, on doit donc avoir

(S07-02) 2 ai + a = 3 e

Le nombre d'éléments est donc toujours plus petit que le nombre d'arêtes.

En se basant sur ce genre de considération, on montre que

(S07-04) a = 3 n - n - 3

(S07-05) e = 2 n - n - 2

et, en combinant les deux relations ci-dessus,

(S07-06) e + n = a + 1

Exercice proposé S07-1 : démontrer les relations (S07-04), (S07-05) et (S07-06).

Référence : C. Berge, Dunod, 1963

La géométrie des arêtes

Dans beaucoup de cas, on souhaite connaître le vecteur tangent et le vecteur normal à une arête. La figure ci-dessous représente cette situation.

Figure S07-3 : vecteur tangent et vecteur normal à une arête.

Supposant que le nœud 1 est l'origine de cette arête et le nœud 2 son extrémité, on a pour le vecteur tangent

(S07-15)

et pour le vecteur normal (supposé pointer à droite par rapport à l'orientation de l'arête)

(S07-16)

où l12 est la longueur de l'arête, soit

(S07-17)

Géométrie des triangles

Considérons un triangle dont les trois sommets sont numérotés de 1 à 3 comme à la figure ci-dessous.

Figure S07-4 : triangle et coordonnées affines

Appelons D le déterminant

(S07-20)

formé en utilisant les coordonnées des sommets. Ce déterminant est égal au double de l'aire du triangle. Il se développe en

(S07-21) D = x2y3 - x3y2 + x3y1 - x1 y3 + x1 y2 - x2 y1

que l'on peut écrire indifféremment sous l'une des formes suivantes :

(S07-22) D = x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)

ou

(S07-23) D = (x3-x2)y1 + (x1 - x3)y2 + (x2 - x1 ) y3

On a souvent intérêt à repérer la position d'un point intérieur à ce triangle en utilisant, au lieu des coordonnées cartésiennes (x, y), les coordonnées affines (z1 , z2 , z3 ) définies par

(S07-24)

Référence : Cendes, IEEE Tr. on Magn., Vol. 27, N°5, sept. 91

Chaque coordonnée affine correspond au double de la surface d'une partie du triangle, comme indiqué sur la figure S07-4. On peut aussi écrire

(S07-25) z1 + z2 + z3 = D

Les formules sont intéressantes d'un point de vue calcul numérique parce qu'elles ne contiennent que des additions et de multiplications (pas de racine carrée ou autre fonction irrationnelle).

Retour à la page précédente

Suite de la guidance

Retour au menu de la semaine 6

Retour à la page d'accueil

Besoin d'une aide personnalisée ?

Dernière mise à jour le 24-10-2002