FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 2 : Électrostatique (seconde partie)
Guidance
Conséquences de la loi de Gauss
Le champ 
introduit plus haut possède des
propriétés qui en font un instrument intéressant pour le calcul du champ
électrique.
Note sur le caractère local de la loi de Gauss
Contrairement à la loi de Coulomb, la loi de Gauss (S02-1) peut être considérée comme une loi locale, car il suffit qu'elle soit vérifiée sur n'importe quel "petit" volume pour qu'elle soit aussi vérifiée sur de "grands" volumes. Nous ne chercherons ici ni à formaliser cette assertion, ni à la démontrer rigoureusement. Elle repose sur une propriété d'additivité : si la loi est correcte sur deux volumes disjoints, elle est correcte sur la réunion de ces volumes même s'ils ont une interface commune. La figure S02-13 illustre cette propriété.
Figure S02-13 : flux au travers des surfaces de deux boîtes fermées juxtaposées. Le flux total passant au travers de la surface intérieure A est nul. Le flux au travers de la surface extérieure est donc égal à la somme des flux traversant les surfaces des deux boîtes prises séparément.
Il existe une façon plus simple d'exprimer le caractère local de la loi de Gauss (S02-1). Il faut pour cela utiliser les outils de la géométrie différentielle, et notamment la notion de divergence.
Utilisation de l'opérateur divergence
La notion de divergence sera vue lors du cours de mathématique, probablement dès
cette semaine.
Vous pouvez trouver une introduction à cette notion aux pages 20 et
suivantes de A. Guissard et R. Prieels,
syllabus fsa1402, janvier 1998, paragraphe 0.2.4 Divergence d'un champ
vectoriel et suivants (pp. 8 et suivantes de la version papier).
Voici en bref ce dont il s'agit.
Soit 
un champ vectoriel (nous
ne discuterons pas ici des propriétés mathématiques
que ce champ doit posséder). La divergence est un opérateur
qui permet d'associer à ce champ vectoriel une densité scalaire,
que nous noterons 
.
Dans un système cartésien de coordonnées, soient x, y et z, la divergence vaut
(S02-2d) 
où Bx, By et Bz sont les
composantes de la grandeur , tandis
que les symboles ¶
x ¶
y et ¶
z désignent les dérivées partielles par
rapport aux coordonnées x, y et z respectivement.
Ceci étant dit, revenons à la loi de Gauss.
Considérons un domaine dont la charge q se présente sous la forme d'une densité r (et non sous la forme de charges ponctuelles). Autrement dit, nous supposons que
(S02-5e) q = l'intégrale de r
On a alors l'équivalence entre les deux propriétés suivantes
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Condition aux interfaces pour le champ de déplacement électrique
Considérons une interface séparant deux milieux différents. Supposons en outre que sur cette interface ( ce n'est pas toujours le cas) il n'y ait aucune charge libre. Prenons un volume cylindrique de hauteur infinitésimale et à cheval sur l'interface (cf. figure S02-12) des deux milieux.
Figure S02-12
Le flux FD au travers des parois latérales est nul (à la limite infinitésimale), et la somme des flux au travers des faces supérieures et inférieures doit donc être nul par la loi de Gauss. On obtient donc
(S02-25) 
où les indices 1 et 2 se rapportent aux deux milieux différents. Comme les
vecteurs 
et
sont de sens opposés, on en déduit que les composantes normales à ces
surfaces doivent être égales pour les milieux 1 et 2 :
(S02-26) D1n = D2n
En appelant q1 et
q2 les angles que forme le vecteur
avec la normale
à la surface de séparation dans les
milieux 1 et 2, nous pouvons écrire :
(S02-27) D1 cos q1 = D2 cos q2
Exercice S02-9 : changement de direction des lignes de champ à l'interface.
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Dernière mise à jour le 18-09-2002
