Exemple de solution à l'exercice proposé S02-21 : cylindre conducteur inclus dans un isolant

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Nous considérons que le champ à grande distance du cylindre conducteur est uniforme et orienté dans la direction , soit

(S02-210)

et donc

(S02-211)

En l'absence du cylindre, ce champ serait uniforme dans tout l'espace. Un tel champ est associé au potentiel

(S02-212) V = - E_o y + constante

comme on peut s'en rendre compte en intégrant (S02-210) sur une ligne reliant l'origine à un point quelconque. La constante qui figure dans (S02-212) est le potentiel à l'origine et, puisque le potentiel n'est défini qu'à une constante près, on peut choisir la valeur de cette constante, que nous prendrons nulle par la suite.

En présence du cylindre conducteur, nous pouvons choisir le système de coordonnées de telle sorte que l'axe de ce cylindre coïncide avec l'axe Oz du système de coordonnées. On aura une entrée de flux F_D du côté y<0 et une sortie de flux F_D du côté y>0 . Comme le cylindre est conducteur, nous pouvons considérer que est nul à l'intérieur. Par la loi de Gauss, on en déduit que l'inclusion va porter sur sa surface des charges négatives du côté y<0 et des charges positives du côté y>0.

Le raisonnement ci-dessus ne peut fournir de réponse quantitative parce que n'est pas connu exactement. On ne peut en effet pas considérer que le champ est égal à (S02-211) parce que ce champ est perturbé au voisinage du cylindre. Bien que qualitatif, le raisonnement ci-dessus permet cependant de présumer que l'effet du cylindre est similaire à celui d'un dipôle puisque l'inclusion porte d'un côté des charges positives et de l'autre des charges négatives.

Nous allons dès lors supposer (ce qui devra être vérifié par la suite) que le champ extérieur à l'inclusion peut se décomposer en un champ uniforme égal à (S02-210)(S02-211)(S02-215) et un champ dipolaire 2D, c'est-à-dire de la forme (S02-160)(S02-161)(S02-163). Comme le champ dipolaire est écrit en coordonnées cylindriques, ce qui est intéressant dans le cas de cet exercice puisque l'on étudie un cylindre, nous allons chercher l'expression du champ uniforme (S02-210)(S02-211)(S02-212) en coordonnées cylindriques. La transformation (S01-46) est utilisée. Moyennant un peu de trigonométrie, on obtient les composantes du champ uniforme en repère orthonormé cylindrique

(S02-213a)

(S02-213b)

(S02-213c) D_z = 0

et

(S02-214a)

(S02-214b)

(S02-214c) E_z = 0

avec un potentiel

(S02-215) V = - E_o r sin j

Donc, la solution que nous allons "essayer" sera de la forme

(S02-216a)

(S02-216b)

(S02-216c) D_z = 0

et

(S02-217a)

(S02-217b)

(S02-217c) E_z = 0

avec un potentiel de la forme

(S02-218)

où la valeur de m est indéterminée à ce stade.

Pour que le champ obtenu de cette façon soit acceptable, il faut que le champ vérifie la loi de Gauss et que le champ vérifie la loi (S01-4)(voir la reformulation de l'électrostatique. Comme ces champs sont composés de deux termes qui sont des champs classiques (uniforme et dipolaire 2D respectivement) qui vérifient tous deux ces équations (ce qui découle immédiatement de la façon dont nous les avons introduits), il est évident que la somme vérifie ces mêmes équations.

Il faut aussi que les conditions aux frontières, c'est-à-dire à la surface du cylindre r = R , soit satisfaite. La condition sur le champ ne nous apprend rien car ne fait que déterminer la valeur de la charge de surface qui apparaîtra sur le cylindre. L'autre condition est que le potentiel soit constant sur la surface du cylindre, ce qui revient à dire que

(S02-219)

Ce sera effectivement le cas si l'on a

(S02-220)

En reportant cette expression dans (S02-216)(S02-217)(S02-218), on obtient la solution cherchée :

(S02-221a)

(S02-221b)

(S02-221c) D_z = 0

et

(S02-222a)

(S02-222b)

(S02-222c) E_z = 0

avec un potentiel de la forme

(S02-223)

La norme du champ électrique est maximum lorsque r = R et j = 0 ou p et vaut alors

(S02-224) E_max = 2 E_o

On peut donc en conclure qu'un cylindre conducteur inclus dans un isolant a pour effet de multiplier localement le champ électrique par un facteur 2 , et cela quelle que soit la taille de ce cylindre. Le fait que le facteur d'amplification soit différent pour une sphère et pour un cylindre (3 et 2 respectivement) montre bien que la forme des inclusions a une importance.

Le calcul effectué ci-dessus peut être appliqué à un autre problème, à savoir le cas d'une bosse en forme de demi-cylindrique à la surface d'un conducteur plan. En effet, le potentiel (S02-223) est nul sur le plan Oxz , de sorte que le champ décrit ci-dessus est aussi une solution du problème modifié.

Cela laisse pressentir que, lorsque les conducteurs d'une ligne haute-tension sont constitués de plusieurs brins torsadés (afin de leur laisser plus de souplesse), une augmentation locale du champ à la surface des conducteurs est à craindre. Le facteur 2 calculé dans cet exercice ne doit cependant pas être pris au pied de la lettre car il ne tient pas compte de l'influence des brins voisins. Une détermination expérimentale du champ comme celles que vous pourrez réaliser au laboratoire de la troisième semaine peut donc être utile dans ce cas (à noter que cette méthode n'est plus couramment utilisée dans la pratique industrielle).

En pratique, on cherche souvent à réduire cette amplification du champ

- soit en entourant le conducteur d'une gaine semiconductrice qui masque les saillances ;

- soit en donnant aux torons une forme non circulaire (souvent en Z), de telle sorte qu'ils puissent s'emboîter sans laisser d'interstices, ce qui permet d'avoir une surface extérieure plus lisse et donc de réduire l'amplification du champ (ainsi que d'obtenir d'autres avantages, comme un meilleur coefficient de remplissage ou une moindre prise au vent, que nous ne détaillerons pas ici).

Dernière mise à jour le 23-09-2001.