FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaine 5 : Magnétostatique du vide (première partie)
Guidance

On utilise pour la description des phénomènes magnétiques un champ de vecteurs . Ce champ porte le nom d'induction magnétique ("flux density" en anglais) ou de "champ magnétique B". On évitera de le désigner par les mots "champ magnétique" utilisés seuls car cette appellation se rapporte traditionnellement à une autre grandeur qui ne sera introduite que la semaine prochaine.

L'unité SI du champ magnétique B est le tesla (T), aussi appelé wéber par mètre carré pour une raison qui apparaîtra plus loin. Pour fixer les idées, disons que 1 T est l'ordre de grandeur du champ qui peut être réalisé sans trop de difficulté dans un noyau de fer.

Le champ vérifie une loi physique tellement simple que l'on peut considérer qu'elle fait partie de sa définition, à savoir la loi de Gauss du champ magnétique.

Cette loi est similaire à celle que respecte le champ de déplacement électrique en ce sens qu'elle fait appel à une intégrale de surface du champ sur une surface fermée, tout comme la loi de Gauss du champ électrique (S01-23a). La loi de Gauss du champ magnétique est même plus simple en ce sens qu'elle impose à cette intégrale d'être toujours nulle.

La loi de Gauss du champ magnétique B s'écrit donc

(S05-1)

La formule (S05-1) peut s'énoncer en disant que la charge magnétique contenue dans un volume quelconque est toujours nulle, ou plus simplement, puisque la propriété est vraie pour tous les volumes, qu'il n'existe pas de charge magnétique "libre" (on dit aussi "isolée").

Commentaire S05-1 : pourquoi a-t-on ajouté ci-dessus l'adjectif "libre" à propos des charges magnétiques ?

Sous la forme (S05-1), la loi de Gauss est utilisable aussi bien en présence qu'en l'absence de matériaux magnétiques.

Considérant une surface S quelconque (pas nécessairement fermée), l'intégrale de surface de sur S porte le nom de flux du champ . On posera

(S05-2)

Bien entendu, pour que le signe de (S05-2) soit défini, la surface S doit être orientée, c'est-à-dire que l'on doit avoir défini le sens de l'élément de surface . Pour rappel, lorsque l'on examine la surface d'un volume, on convient que est orienté vers l'extérieur du volume.

Le flux magnétique se mesure en wéber (Wb). Voilà pourquoi l'unité de champ magnétique B, le tesla (T), est souvent appelée "weber par mètre carré" (Wb/m²).

La loi de Gauss (S05-1) peut encore s'énoncer en disant que le flux du champ à travers la surface de tout volume est nul.

L'équation (S05-2) peut encore s'écrire

(S05-3)

où B_n est la composante du champ normale à la surface S.

Lorsque le champ est uniforme sur la surface S considérée, l'équation (S05-3) se réduit donc à

(S05-4) F_B = B_n S .

Exercice proposé S05-l : réflexion sur l'aspect mathématique de la loi de Gauss.

Considérons les lignes de champ de , c'est-à-dire les lignes en tout point tangentes au champ . Considérons maintenant un tube dont la surface latérale est formée de telles lignes (cf. figure S05-3). On peut en faire une surface fermée en "bouchant" les extrémités du tube par deux bases S₁ et S₂ . Nous supposons la base S₁ orientée vers l'intérieur du tube tandis que la base S₂ sera orientée vers l'extérieur du tube.

Figure S05-03 : tube de flux.

Il est clair que l'intégrale du champ sur la surface latérale du tube est nulle, puisque le champ est tangent à cette surface par définition des lignes de champ.

La loi de Gauss (S05-1) se ramène donc à dire que le flux F_{B S2} de sur la base supérieure S₂ du tube est exactement égale au flux F_{B S1} sur la base inférieure du tube.

Le tube de flux de la figure S05-3 apparaît alors comme un "tuyau" qui transporte un flux F_B sans pertes de l'entrée S₁ à la sortie S₂ .

La considération des tubes de flux permet une représentation graphique intéressante du champ en un point quelconque P. Pour cela, on décompose l'espace au voisinage de P en une série de tubes de flux transportant chacun le même flux élémentaire, que nous supposons pour la simplicité égal à l'unité, soit 1 wéber (1 Wb). La norme du champ est alors égale à la densité de tubes de flux au voisinage de P , c'est-à-dire le nombre de tubes qui traversent une surface unitaire perpendiculaire aux tubes. On notera que, lorsque les tubes sont plus larges, cela signifie que le champ est plus faible puisque le nombre de tubes par unité de surface est plus petit.

Pour fixer les idées, la figure S051-4 donne un exemple de représentation à trois dimensions par un ensemble de tubes de flux.

Figure S05-4 : ensemble de tubes de flux.

Puisque la loi de Gauss (S05-1) implique qu'il n'existe pas de charges magnétiques libres, les tubes de flux ne peuvent se terminer nulle part.

La représentation par tubes de flux ne peut se faire dans un plan que dans le cas des problèmes à deux dimensions, c'est-à-dire ceux où la composante du champ selon une des coordonnées (par exemple B_z ) est nulle partout. Dans ce cas, on convient que les flux sont indiqués pour une unité de la coordonnée ignorée (par exemple pour Dz = 1). On obtient ainsi une représentation plane où les tubes de flux sont limités par des lignes dans le plan, qui ne sont autres que les lignes de champ situées dans le plan (en réalité, ces lignes représentent des surfaces de largeur unitaire). Un exemple d'une telle représentation est donné à la figure S05-05.

Dernière mise à jour le 06-08-2003