Magnétostatique (première partie)

FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaine 5 : Magnétostatique du vide (première partie)
Guidance

Conséquences de la loi de Gauss

Note sur le caractère local de la loi de Gauss

La loi de Gauss (S05-1) peut être considérée comme une loi locale, car il suffit qu'elle soit vérifiée sur n'importe quel "petit" volume pour qu'elle soit aussi vérifiée sur de "grands" volumes. Nous ne chercherons ici ni à formaliser cette assertion, ni à la démontrer rigoureusement. Elle repose sur une propriété d'additivité : si la loi est correcte sur deux volumes disjoints, elle est correcte sur la réunion de ces volumes même s'ils ont une interface commune. La figure S05-10g illustre cette propriété.

Figure S05-10g : flux au travers des surfaces de deux boîtes fermées juxtaposées. Le flux total passant au travers de la surface intérieure A est nul. Le flux au travers de la surface extérieure est donc égal à la somme des flux traversant les surfaces des deux boîtes prises séparément.

Il existe une façon plus simple d'exprimer le caractère local de la loi de Gauss (S05-1). Il faut pour cela utiliser les outils de la géométrie différentielle, et notamment la notion de divergence.

Utilisation de l'opérateur divergence

La notion de divergence sera vue lors du cours de mathématique, probablement dès cette semaine.
Vous pouvez trouver une introduction à cette notion aux pages 20 et suivantes de A. Guissard et R. Prieels, syllabus fsa1402, janvier 1998, paragraphe 0.2.4 Divergence d'un champ vectoriel et suivants (pp. 8 et suivantes de la version papier).

Voici en bref ce dont il s'agit.

Soit un champ vectoriel (nous ne discuterons pas ici des propriétés mathématiques que ce champ doit posséder). La divergence est un opérateur qui permet d'associer à ce champ vectoriel une densité scalaire, que nous noterons .

Dans un système cartésien de coordonnées, soient x, y et z, la divergence vaut

(S05-23e)

où B_x, B_y et B_z sont les composantes de la grandeur , tandis que les symboles ¶ _x ¶ _y et ¶ _z désignent les dérivées partielles par rapport aux coordonnées x, y et z respectivement.

Ceci étant dit, revenons à la loi de Gauss.

On a alors l'équivalence entre les deux propriétés suivantes

La loi (S05-1)

est valable sur un domaine ;
on a en tout point de ce domaine
(S05-23g)

Bien entendu, si on admet qu'il n'existe nulle part de charge magnétiques libres, le domaine considéré peut s'étendre à tout l'univers.

Condition aux interfaces pour le champ de déplacement électrique

Considérons une interface séparant deux milieux différents. Supposons en outre que sur cette interface ( ce n'est pas toujours le cas) il n'y ait aucune charge libre. Prenons un volume cylindrique de hauteur infinitésimale et à cheval sur l'interface (cf. figure S05-10h) des deux milieux.

Figure S05-10H

Le flux F_D au travers des parois latérales est nul (à la limite infinitésimale), et la somme des flux au travers des faces supérieures et inférieures doit donc être nul par la loi de Gauss. On obtient donc

(S05-23h)

où les indices 1 et 2 se rapportent aux deux milieux différents. Comme les vecteurs et sont de sens opposés, on en déduit que les composantes normales à ces surfaces doivent être égales pour les milieux 1 et 2 :

(S02-23i) B_1n = B_2n

En appelant q₁ et q₂ les angles que forme le vecteur avec la normale à la surface de séparation dans les milieux 1 et 2, nous pouvons écrire :

(S02-23j) B₁ cos q₁ = B₂ cos q₂

Exercice S05-4m : changement de direction des lignes de champ à l'interface.


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Dernière mise à jour le 7-08-2003