FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 8 : Phénomènes d'induction (première partie)
Guidance

En introduisant les expressions (S08-12) et (S08-6) dans (S08-5), on obtient une expression de la loi de Faraday en termes de champs, soit

(S08-13)

Remarque concernant le potentiel V

Une des premières conséquences de cette équation est que, en présence d'un champ magnétique variable, le champ électrique ne peut pas dériver d'un potentiel puisque son intégrale de circulation sur un contour fermé n'est pas nulle. C'est pour cette raison que nous avons dès la semaine 1, dans cette guidance, distingué le champ , qui dérive du potentiel V , du champ électrique . Ce n'est que dans le cas où on se limite aux contours G situés dans une région simplement connexe dans laquelle le champ magnétique B est nul ou constant que l'intégrale de circulation de est nulle (puisque la dérivée du flux magnétique encerclé par ces contours est nul). Dans une telle région, le champ dérive donc d'un potentiel V et il n'y a pas lieu de distinguer les champs et .

La loi de Faraday (S08-13) peut être considérée comme une loi locale, car il suffit qu'elle soit vérifiée sur n'importe quel "petit" parcours fermé pour qu'elle soit aussi vérifiée sur de "grands" parcours. Nous ne chercherons ici ni à formaliser cette assertion, ni à la démontrer rigoureusement.

La figure ci-dessous en donne une démonstration intuitive.

Cette démonstration est basée sur le fait que l'intégrale figurant dans le membre de gauche de (S08-13), prise sur la grande boucle, est égale à la somme des intégrales prises sur les petites boucles, car les parties communes à deux petites boucles sont parcourues en sens opposés, de sorte que leurs contributions à la somme des intégrales se compensent. De même, l'intégrale de surface du membre de droite de (S08-13), prise sur la grande surface, est égale à la somme des intégrales prises sur les petites surfaces.

Il existe une façon plus simple et plus rigoureuse d'exprimer le caractère local de la loi (S08-13). Il faut pour cela utiliser les outils de la géométrie différentielle, et notamment la notion de rotationnel.

Utilisation de la notion de rotationnel

La notion de rotationnel a été vue lors du cours de mathématique, probablement au début de la semaine2. Nous l'avons déjà utilisée lors de la guidance de la semaine 1

En utilisant cette notion et la même transformation mathématique qu'en semaine 1, on peut écrire le membre de gauche de l'équation (S08-13) sous la forme d'une intégrale de surface. Par ailleurs, puisque nous nous sommes limités aux contours immobiles, on peut aussi faire rentrer la dérivation temporelle du membre de droite dans l'intégrant. On obtient ainsi

(S08-14)

Etant donné un volume quelconque de l'espace, pourvu qu'il ne comporte pas de "trous", on a l'équivalence entre les propositions suivantes :

• L'équation

  (S01-15)

  est valable en tout point de ce volume ;

• L'équation (S08-13) est valable sur n'importe quel parcours fermé du volume considéré .

La formule (S08-15) est donc la forme locale de la loi de Faraday.

L'équation (S08-15) ne fait intervenir en chaque point que les dérivées du champ au point considéré. Le caractère local de cette relation, et donc aussi des propriétés qui lui sont équivalentes, est donc évident.

Condition aux interfaces pour le champ électrique

Comme nous l'avions déjé annoncé en semaine 1, le champ électrique admet les mêmes conditions aux interfaces que le champ . Nous sommes maintenant en mesure de le montrer.

Considérons une interface séparant deux milieux différents.

Prenons un contour rectangulaire G de hauteur infinitésimale et à cheval sur cette interface (cf. figure S08-4).

La surface encerclée par le contour G éant infinitésimalement petite (puisque le contour est très applati), on peut considérer que le membre de droite de (S08-13) est nul (cela suppose qu'il n'y a pas flux magnétique concentré sur l'interface, ou pour le dire autrement que le champ B ne peut pas prendre une valeur infinie à cet endroit). La circulation du champ sur le contour G est alors nulle en vertu de (S08-14). Or, le long des hauteurs latérales, cette circulation est nulle (à la limite infinitésimale et en supposant que le champ E ne peut pas prendre une valeur infinie à cet endroit). Donc, la somme des circulations le long des bords supérieurs et inférieurs doit être nulle.

À la limite infinitésimale, on obtient donc

(S08-16)

où les indices 1 et 2 correspondent aux deux milieux différents.

Comme les vecteurs et ont des directions opposées, on en déduit que les composantes du champ tangentielles à ces bords doivent être égales pour les milieux 1 et 2. Puisque ce résultat doit être valable pour n'importe quel contour applati, on en déduit que les composantes du champ tangentielles à l'interface doivent être nulles :

(S08-17)

que l'on peut encore écrire

(S08-18) E₁ sin q₁ = E₂ sin q₂

où l'angle q est l'angle entre le champ et la normale à l'interface (cf. figure S08-4).

La condition aux frontières (S08-17)(S08-18) est bien celle qui avait été annoncée lors de la guidance de la semaine 1

Dernière mise à jour le 20-08-2003