Exemple de solution à l'exercice S08-11
: capteur de compte-tours de véloLa vitesse de l’aimant par rapport à la bobine est de
(S08-120)
Prenons comme origine des temps t = 0 un instant où l’aimant se trouve au droit de la bobine.
Première sous-question
Le flux produit par la l’aimant dans la bobine est nul si l’écart entre l’aimant et la bobine est en valeur absolue supérieur à 1 cm. Compte tenu de (S03-120) , ce décalage correspond à un intervalle de temps Dt = 0.01 s.
Nous choisissons pour la bobine un sens de parcours tel que le flux y soit positif lorsqu'elle se trouve face à l'aimant.
Le flux produit par l’aimant dans la bobine atteint sa valeur maximum lorsque l’aimant se trouve au droit de la bobine, donc en particulier au temps t = 0. A cet instant, le flux par spire est de
(S08-121) F = B S = 0.05 x 0.0001 = 5 mWb
Le flux de l’ensemble de la bobine est donc, à l’instant t = 0, de
(S08-122) y = n F = 100 x 5 10-6 = 0.5 mWb
Le flux croît linéairement de 0 à la valeur (S08-122) entre t = - 0.01 s et t = 0. Il décroît ensuite linéairement de la valeur (S08-121) à 0 entre t = 0 et t = 0.01 s. Il reste ensuite nul jusqu’à ce que, la roue ayant achevé un tour complet, le phénomène se reproduise.
La roue effectue un tour complet en un temps
(S08-122) 
On peut donc représenter l'évolution du flux y par le graphe
Figure S08-73
deuxième sous-question
La force électromotrice induite est définie par la formule
(S08-5)
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de la guidance.
Cette force électromotrice induite vaut donc
Ceci nous conduit au graphe suivant :
Figure S08-74
troisième sous-question
Pour répondre à cette question, il faut d'abord calculer la résistance totale du circuit.
La résistance de la bobine est donnée par la loi de Pouillet
(S08-125)
La résistance totale du circuit vaut donc
(S08-126) Rtot = 8.8 + 1.2 = 10.0 W
Il faut faire choix d'un sens de référence pour le courant. Nous prenons le même sens que celui qui a été défini ci-dessus pour définir le flux.
Le circuit étant fermé (pas de tension appliquée de l'extérieur), le courant s'obtient alors en divisant la force électromotrice induite par cette résistance. Il vaut donc
i = 0.05 / 10 = - 5 mA entre t = -0.01 s et t = 0
i = - 0.05 / 10 = + 5 mA entre t = 0 et t = 0.01 s
quatrième sous-question
Puisque la bobine est entourée de vide, on peut calculer le champ associé par la loi de Biot-Savart ou une expression déduite de cette loi. Le plus simple est de considérer B' comme la somme des champs "produits" par quatre segments rectilignes de longueur finie. La formule relative à un segment rectiligne de longueur finie L se trouve dans le livre de référence. Pour un point du plan équatorial situé à une distance d du segment, cette formule devient
(S08-127) 
Dans le cas qui nous occupe, la dernière fraction est égale à l'inverse de racine de deux.
Il reste à multiplier par quatre ce résultat, puis par le nombre n de spires, pour obtenir
(S08-128) 
avec d = 0.5 cm.
On a donc, en prenant comme sens de référence pour le champ B' le même sens de référence que pour l'aimant.
B' = -57 mT pour t allant de -0.01 s à 0
B' = + 57 mT pour t allant de 0 à 0.01 s
On voit que, à chaque instant, le champ B' a le signe opposé à celui de la dérivée du flux. C'est tout à fait normal puisque le champ "produit" par un courant induit s'oppose aux variations du flux qui l'ont engendré.
Bien entendu, ceux qui n'ont pas noté dans leur synthèse la formule du champ "produit" par un segment rectiligne de longueur finie peuvent retrouver la formule (S08-127) en remontant à la loi de Biot-Savart. On a alors, pour un segment rectiligne
(S08-129) 
avec
(S08-130) y = d tg q
et
(S08-131) r = d / cos q
Le plus simple est d'effectuer l'intégrale (S08-129) en prenant q comme variable indépendante. De (S08-130), on déduit
(S08-132) dy = [d / cos2 (q) ] dq
L'intégrale (S08-132) devient, en y introduisant (S08-131) et (S08-132),
(S08-133) 
qui n'est autre que l'équation (S08-127)
Des calculs approchés sont également acceptables, à condition de bien expliquer quelle est l'approximation faite. Beaucoup d'étudiants ont remplacé la bobine carrée par une bobine plate circulaire.
On peut aussi, mais c'est moins bon, simplement additionner les champs dus aux côtés de la bobine en considérant ceux-ci comme infiniment longs. On obtient ainsi B' = 80 mT
cinquième sous-question
Le champ des aimants n'induit pas de force électromotrice dans le rayon puisque ce champ est constant et se déplace à la même vitesse que les rayons.
Par contre le champ B' induit une force électromotrice de deux façons :
Les variations de B' étant brutales, elles produisent des pics de force électromotrice de valeur infinie.
Nous ne nous intéresserons qu'à la partie de la force électromotrice due au mouvement des rayons. Celle-ci ne prend une valeur non nulle que sur les rayons se situant face à la bobine.
Nous considérons que la longueur du rayon exposée au champ magnétique B' est
L = 1 cm
et que la vitesse de ce tronçon est identique à celle (S08-120) de l'aimant, soit
v = 1 m/s
La force électromotrice vaut alors, en norme, BLv = 0.57 mV pour t allant de -0.01 s à + 0.01 s.
Si on prend comme sens de référence pour les rayons la direction s'éloignant du centre de la roue, et si on suppose que la bobine se trouve à droite de la roue et que le vélo progresse en marche avant, la force électromotrice induite dans les rayons vaut :
B x L . v = + 0.57 mV pour t allant de -0.01 s à 0
et
B x L . v = - 0.57 mV pour t allant de 0 à +0.01 s .
Dernière mise à jour le 16-12-2004