Glissant

Circuits glissants
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

Exemple : Moteur à reluctance variable

Cette page est tirée d'une communication personnelle de A. Dente et P. Branco.
Elle sera à terme remplacée par deux pages plus détaillées,
l'une relative au cas d'une commande complète,
l'autre au cas d'une commande partielle.

La machine à réluctance variable que nous considérons est formée par un ensemble de pôles saillants, excités individuellement, au stator, et un ensemble de pôles saillants, non excités, au rotor. Le nombre de pôles n'est pas, normalement, le même sur les deux côtés de la machine.

Figure S03-11.Exemple de machine à réluctance variable

Le coefficient d'induction d'un bobinage statorique peut être considéré comme une fonction triangulaire de l'angle relatif entre le circuit dans la position r_s et le rotor avec coordonnée de position q_r .

Figure S03-12. Coefficient d'inductance en fonction de la position relative du circuit

Note du webmaster : l'angle de position r_i attribué à chaque phase n'est pas forcément égal à son angle de position géométrique. Par exemple, pour la machine représentée à la figure S03-11, le passage d'une phase à la suivante correspond à une rotation du rotor de 30° seulement. En effet, si on part d'une position où un plot rotorique se trouve sous la première phase, il suffit d'une rotation de 30° pour qu'un plot rotorique se trouve sous la deuxième phase. Si la position de la première phase est de 0° , celle de la deuxième phase sera r_i = 30° et non pas 90° comme on pourrait le penser.

En excitant, successivement, les différents pôles statoriques, on peut entraîner le rotor grâce au couple de réluctance exercé sur les saillances du rotor.

Une étude rigoureuse de ce système implique l'utilisation de termes non linéiques dans les équations dynamiques, mais on peut faire une description simplifiée en utilisant les équations linéiques.

Supposons qu'il y a un grand nombre (à la limite infini) de pôles au stator et représentons par r_s la coordonnée de position moyenne occupée par le circuit statorique excité et par i_s le courant moyen absorbé.

L'équation électrique moyenne du stator sera alors

(S03-23)

où on a .

Si on représente la coénergie magnétique moyenne par

(S03-24)

où L_s est la self moyenne, on obtient

(S03-25)

Note du webmaster : l'équation (S03-24) suppose que l'on néglige les inductances mutuelles entre les phases simultanément conductrices. Une telle hypothèse est valable si chaque phase possède sont propre circuit magnétique (moteur pas à pas "en galettes"). Dans le cas du moteur de la figure S03-11, il s'agit d'une approximation.

Mais on a

(S03-26)

alors

(S03-27)

Le couple électromagnétique est

(S03-28)

Un cas intéressant est celui où la commutation des circuits au stator est asservie à la position du rotor

(S03-29)

Dans ce cas, l'équation (S03-27) devient

(S03-30)

Cette équation est équivalente à l'équation (S02-6) établie pour la machine à courant continu de réluctance, le processus de conversion d'énergie étant le même.

Pour avoir une idée de la précision de l'équation linéique (S03-30), on représente ci-joint le processus de démarrage à vide d'un moteur 4x6, suivi de l'application d'un couple résistant.

Le processus a été étudié par une simulation détaillée du système et par les équations dynamiques linéiques.

Note du webmaster : les résultats précis dépendent de la façon dont la commande du collecteur électronique est effectuée. Comme l'algorithme de commande n'est pas décrit ici, la présentation qualitative des résultats effectuée ci-dessous est suffisante. La portée des observations faites sur ces résultats est très générale.

Figure S03-13. Comparaison entre résultats du modèle détaillé et du modèle linéique

On observe une très bonne concordance et le modèle simplifié peut être considéré comme satisfaisant de ce point de vue. Les oscillations rapides du couple que le modèle à circuit glissant ne peut pas prévoir n'apparaissent guère sur le graphe de la vitesse car elles sont filtrées par l'inertie mécanique du rotor.

Le modèle simplifié est moins satisfaisant d'un point de vue électrique : non seulement le modèle à circuit glissant ne peut prévoir les oscillations rapides de courant mais, surtout, le courant moyen absorbé pendant le transitoire présente des erreurs non négligeables

Figure S03-14. Comparaison entre résultats du modèle détaillé et du modèle linéique

Pour corriger ce résultat, il faudrait utiliser un terme non linéique dans l'équation électrique.

Cette imprécision peut être importante pour étudier certains phénomènes.

Par exemple, avec l'équation (S03-30), la machine à réluctance variable devrait posséder un régime chaotique, comme il est bien connu pour les machines à collecteur régies par la même équation, alors que dans le cas d'une machine 4x6 considéré la simulation détaillée montre que ce régime n'existe pas.

D'une façon générale, les termes non linéiques introduisent des amortissements additionnels.


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Dernière mise à jour le 16-08-2004