Circuits glissants
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

Dans une machine dont le collecteur électronique obéirait à l'équation (S03-5), la modélisation de l'induit par un circuit glissant linéique, comme nous l'avons fait pour les machines DC classiques, pourrait se faire avec une bonne précision.

Considérons pour cela l'induit comme un seul circuit parcouru par le courant i_a défini par l'équation (S03-5). On attribuera de la même façon à ce circuit une tension u_a définie par

(S03-10) u_a = S a_i u_{a i}

On peut aussi considérer un flux d'induit défini par

(S03-11) y_a = S a_i y_{a i}

La dérivée temporelle de y_a peut s'écrire

(S03-13)

Or, puisque les branchements sont filiformes, on aura, en négligeant la chute ohmique

(S03-14)

En introduisant (S03-14) dans (S03-13) et en utilisant la définition (S03-10), on obtient sans peine

(S03-15)

Le circuit d'induit " a " n'est donc pas un circuit filiforme. Nous allons montrer qu'il s'agit d'un circuit glissant linéique.

Pour ce faire, il suffit de remplacer l'expression (S03-6) par

(S03-16)

où r mesure un décalage par rapport au circuit défini par (S03-6). L'origine de cette variable a été choisie de telle sorte que l'on retrouve l'équation (S03-6) lorsque r = p / 2 , de façon à conserver une analogie avec la machine DC classique.

L'équation (S03-15) peut alors s'écrire

(S03-17)

où f'(x) est la dérivée de la fonction f(x) définie par (S03-16).

Ceci étant fait, si nous introduisons (S03-5) dans l'expression de la coénergie, afin d'obtenir une expression de la coénergie en fonction de q , r et i_a , on peut écrire

(S03-18)

où w_cm^* désigne l'expression de la coénergie en fonction de q et de l'ensemble des courants i_{a i}, alors que nous désignerons par w_cm l'expression de la coénergie en fonction de q , r et i_a.

En utilisant (S03-18), on peut réécrire (S03-17) sous la forme

(S03-19) .

où le second terme a bien la forme d'un terme de glissement.

Un raisonnement analogue permet de montrer que le couple obéit bien à l'équation (S01-19) des circuits glissants. On a en effet

(S03-20)

soit, en utilisant à nouveau (S03-18),

(S03-21)

Notons encore que la tension u_a introduite ci-dessus n'est pas égale à la tension d'alimentation U. En introduisant la définition (S03-10) dans (S03-7), on obtient seulement

(S03-22) U I = u_a i_a

Pour que le modèle à circuit glissant présente un intérêt pratique, il convient de remplacer l'expression de la coénergie par une expression de la valeur moyenne de la coénergie. Cette valeur moyenne est déterminée

• soit par calcul utilisant le modèle détaillé et relatif à un régime de fonctionnement particulier, normalement le régime permanent,
• soit par ajustement de façon à reproduire certains résultats expérimentaux.

On obtient ainsi un modèle capable de rendre compte de l'évolution des valeurs moyennes.

Compte tenu des simplifications constructives apportées aux machines à collecteur électronique, on ne peut pas en général maintenir constants à la fois le courant d'alimentation I et le couple électromécanique C_em . L'une au moins de ces deux grandeurs présentera des fluctuations rapides autour de son évolution globale. Le modèle à circuit glissant ne peut pas rendre compte de ces fluctuations. Fort heureusement, il n'est en général pas nécessaire de déterminer ces fluctuations avec précision, de sorte qu'un calcul a posteriori sera presque toujours suffisant.

Un contrôle du collecteur électronique aussi rigoureux que celui qui est prévu par l'équation (S05-5) nécessiterait en pratique l'utilisation de capteurs de courant. Une alternative intéressante pourrait consister à imposer aux différentes tensions u_{a i} calculées de façon à obtenir la forme des courants (S03-07).

Pour éviter le recours tant à des capteurs de courant qu'à un calcul des u_{a i}, on utilise des commandes plus simples, mais avec comme conséquence le fait que la plage de variation de q correspondant à la conduction d'une phase n'est plus constante, mais dépend du régime de fonctionnement de la machine.

Dans ce cas, le modèle à circuit glissant linéique perd en précision. Il reste possible d'obtenir une précision convenable avec un modèle à circuit glissant, mais il faut alors utiliser un modèle à plusieurs circuits glissant, ou un modèle à circuit glissant non linéique.

Dernière mise à jour le 25-08-2004