Circuits glissants
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

Considérer que la densité de conducteurs d'un branchement est répartie sinusoïdalement dans l'espace est rarement une bonne approximation de la réalité. Pour cette raison, l'hypothèse d'un couplage sinusoïdal entre les branchements est douteuse. Nous allons donc généraliser l'étude faite aux pages précédentes (modèle filiforme et modèle à circuit glissant ) de façon à pouvoir tenir compte d'autres formes de couplage.

Comme précédemment, nous considérons une machine qui comporte un circuit inducteur " f " mobile et un induit fixe formé de n branches filiformes comme représenté à la figure S03-21. La position angulaire de l'inducteur (rotor) est désignée par la lettre q . Les branchements de l'induit sont numérotés par un indice " i " allant de 1 à n .

Nous continuons à négliger les résistances et les inductances sont supposées linéaires (pas de saturation). Nous considérons qu'il s'agit d'une machine à pôles lisses, donc que l'inductance de l'inducteur L_f est constante.

Par contre, au lieu de supposer les couplages sinusoïdaux, nous supposerons maintenant que, moyennant un choix convenable des axes de référence, on peut écrire les mutuelles entre l'inducteur et chaque branchement de l'induit sous la forme

(S03-110) M_{f i} = M_o f[ q - ( 2 i - 1) d ]

où la fonction f(x) est une fonction paire, le cas du couplage sinusoïdal étudié aux pages précédentes étant donc le cas particulier où f(x) = cos(x).

Par ailleurs, nous supposons que les inductances mutuelles des branchements peuvent s'écrire en utilisant la même fonction f(x) sous la forme

(S03-111) M_{i j} = M f[ ( i - j) d ] si i ¹ j

tandis que l'inductance propre d'un branchement vaut

(S03-112) M_{i i} = L ³ M

Dans ces expressions, q est la position mécanique du rotor et d est l'angle défini par (S03-41). On remarquera que l'équation (S03-110) admet les deux cas particuliers

(S03-113) M_{f 1} = M_o f( q - d )

et

(S03-114) M_{f n} = M_o f( q + d )

En l'absence de courant dans les branchements de l'induit, le flux de ces branchements est

(S03-115) y_{o i} = M_fi i_f = M_o i_f f[ q - ( 2 i - 1) d ]

La coénergie magnétique obéit à l'expression

(S03-116)

soit

(S03-117)

Supposant le courant i_f constant et la vitesse de rotation w constante, soit

(S03-57) q = w t ,

les "tensions à vide" de chaque branchement s'écrivent

(S03-118)

On peut aussi utiliser le même modèle pour modéliser une source de tension polyphasée de forme quelconque en posant

(S03-61) w M_o i_f = w y_o = U_c

de sorte que (S03-118) devient

(S03-119) u_{o i} = - U_c f ' [ w t - (2i-1) d ]

On dit que le couplage est sinusoïdal parfait si L = M , de sorte que l'on a alors

(S03-120) M_{i j} = M f [ ( i - j) d ] pour toutes les valeurs de i et j si le couplage est parfait.

L'expression de la coénergie devient alors simplement

(S03-121)

Dans les machines à grand nombre de phases, chaque phase ne comporte que quelques spires disposées dans deux encoches diamétralement opposées (nous ne considérons pas ici le cas de bobinages à pas raccourci). Les phases sont connectées en polygone afin d'obtenir des tensions significatives malgré le petit nombre de spires de chaque phase. Considérant un branchement comme le circuit obtenu en traversant ce polygone d'un point au point opposé, on peut dire que ce circuit est formé de deux nappes de conducteurs de densité uniforme, formant une répartition carrée de conducteurs. Cette situation est celle qui se rencontre à l'induit des machines DC classiques. On en trouvera une description dans les ouvrages classiques, par exemple le livre " Electromécanique Convertisseurs d'énergie et actionneurs".

Si on fait l'hypothèse d'un entrefer mince et uniforme, on sait que le passage d'un courant dans un tel branchement entraîne alors l'apparition d'un champ de forme triangulaire, d'où le titre de ce paragraphe.

Nous supposerons que l'inducteur est, lui aussi, réalisé de telle sorte que le passage d'un courant i_f entraîne l'apparition d'un champ de forme triangulaire.

Dans ces conditions, on montre que les couplages obéissent aux équations ci-dessus où la fonction f(x) est

(S03-125)

La figure ci-dessous indique l'allure de cette fonction.

A faire

Figure S03-26 : graphe de f(x) dans le cas d'une machine à onde triangulaire.

L'allure faussement sinusoïdale de cette fonction ne doit pas faire illusion. Ses deux premières dérivées sont

(S03-126)

et

(S03-127)

La fonction (S03-126) est une fonction formée d'arcs de parabole qui présente encore une certaine ressemblance avec une sinusoïde. Il en est donc de même des tensions à vide (S03-119) . Par contre, la fonction (S03-127) est une fonction triangulaire.

Dernière mise à jour le 26-08-2004