Circuits glissants
3. Modélisation à un circuit glissant linéique des machines DC à collecteur électronique

Cette page s'inspire des articles suivants

M. S. Garrido
Etude théorique et expérimentale de la génératrice à redresseur
Etude du régime permanent
Revue E - Vol. VII - N° 3 - 1972

H. Buyse
Contribution à l'étude de la machine à commutation électronique
1. étude théorique et expérimentale de la génératrice à redresseur commandé
Revue E - Vol. VII - N° 10 - 1974

Considérons le modèle de référence décrit à la page précédente, et supposons que le nombre de branchement est élevé (à la limite infini), mais que seuls un petit nombre de branchements voisins sont conducteurs.

En ce cas, tous les branchements conducteurs occupent (à la limite n ® ¥ ) la même position r_a que nous considérerons comme la position du circuit d'induit " a " formé à chaque instant par la mise en parallèle de tous les branchements conducteurs.

L'inductance mutuelle entre l'inducteur et chacun des branchements conducteurs est alors la même. En utilisant (S03-50) et la relation

(S03-69) r_a = q - (2 i - 1) d pour un branchement i conducteur,

on obtient

(S03-70) M_{a f} = M_o cos r_a

que nous pouvons considérer comme l'inductance mutuelle entre l'inducteur et le circuit d'induit.

De plus, avec les hypothèses faites, l'angle qui sépare deux branchements conducteurs est petit, de sorte que l'inductance mutuelle entre ces branchements est, par (S03-51), égale à

(S03-71) M_{i j} = M entre branchements conducteurs différents.

Il en résulte que l'inductance propre du circuit d'induit peut s'écrire

(S03-72)

Si l'on souhaite considérer le circuit d'induit comme un circuit linéique, ses paramètres ne peuvent pas dépendre d'autres variables que q et r . Nous devons donc limiter l'étude présente au cas des machines à couplage parfait, auquel cas l'inductance L_a prend la valeur constante

(S03-73) L_a = M

En pratique, il n'existe pas de machine à nombre infini de branchements ! La définition d'un modèle à circuit glissant se fait donc "par axiome", même si elle s'inspire de la discussion faite au paragraphe précédent. La justification finale du modèle utilisé dépendra de la qualité des résultats obtenus en utilisant ce modèle.

On fera donc l'hypothèse qu'une machine à couplage sinusoïdal parfait et grand nombre de phase, associée à un collecteur électronique, peut être représentée par un modèle à deux circuits, l'inducteur " f " étant un circuit filiforme et l'induit " a " un circuit glissant dont la position est fournie par la variable r_a associée à l'angle de position mécanique q . Ces circuits sont caractérisés dans le cas d'un modèle linéaire (sans saturation) par

• une inductance d'inducteur L_f constante
• une inductance d'induit L_a constante
• une inductance mutuelle qui ne dépend que de r_a , de la forme

(S03-74) M_{a f} = M_{o f} cos r_a

On peut aussi attribuer aux deux circuits des résistances, soit R_f et R_a respectivement. Si cela ne pose pas de problème en ce qui concerne R_f , c'est plus délicat en ce qui concerne R_a car cette dernière n'est indépendante du nombre de branchements conducteurs que s'il existe entre ces branchements un couplage résistif parfait (analogue au couplage inductif parfait que nous avons postulé). De plus, en pratique, cette résistance est souvent une fonction non linéaire du courant i_a , ce que nous rappellerons en mettant systématiquement le produit R_a i_a entre parenthèses.

En pratique, les valeurs des paramètres L_f , L_a et M_{a f} , ainsi que R_f et la fonction (R_a i_a), peuvent être obtenues expérimentalement en ajustant ces valeurs de façon à ce que les résultats expérimentaux et théoriques soient aussi proches que possible sur un ensemble de fonctionnements (par exemple à vide, en court-circuit ….).

La vitesse de rotation mécanique est la dérivée temporelle de q , que nous noterons souvent

(S03-75)

Le modèle étant linéaire, la coénergie peut s'écrire

(S03-76)

et les flux valent, conformément à (S01-17)

(S03-77a) y_f = L_f i_f + M_{o f} i_a cos (r_a )

(S03-77b) y_a = L_a i_a + M_{o f} i_f cos (r_a )

L'application de la théorie des circuits glissants linéiques (P01P09), formules (S01-15) et (S01-18), fournit après une simplification qui élimine la dérivée temporelle de r_a ,

(S03-78a)

(S03-78b) .

L'expression du couple électromécanique découle directement de la théorie des circuits glissants linéiques(S01P09), formule (S01-14). Puisque la machine est à pôles lisses ( la variable q n'intervient pas dans l'expression des inductances), seul le second terme de cette équation est différent de zéro. On a donc

(S03-79) C_em = - M_{o f} i_f i_a sin(r_a )

Nous tournant à nouveau vers le modèle de référence, on voit que le collecteur ne peut fonctionner que si le courant dans le branchement qui va cesser d'être conducteur doit décroître (en valeur absolue) jusqu'à la valeur nulle, puisque l'ouverture de cet interrupteur ne peut se faire que si la nullité du courant est réalisée. Pour que ce soit possible, il faut que la tension induite dans ce branchement soit inférieure à la tension induite dans les autres branchements conducteurs. Une conséquence en sera que, juste après la fin de la conduction, la tension du branchement qui a quitté le circuit d'induit sera nécessairement inférieure à la tension de l'induit.

Même si le modèle linéique ne permet pas de rendre compte de l'évolution du courant dans les branchements, on peut néanmoins vérifier que cette dernière condition est remplie. Pour ce faire, il faut compléter le modèle de façon à pouvoir l'utiliser pour déterminer la tension des branchements non conducteurs.

Nous définirons donc un second circuit d'induit, désigné ci-dessous par la lettre b, dont la position sera r_b et dont le courant i_b vérifiera la condition

(S03-80) i_b = 0

Nous attribuerons au circuit " b " une inductance propre L_a , une inductance mutuelle avec l'inducteur M_{o f} cos (r_b ) , une inductance mutuelle avec le circuit " a " L_a cos (r_a - r_b ) et une résistance mutuelle R_a cos (r_a - r_b ) .

Malgré la condition (S03-80), pour pouvoir appliquer la théorie, l'expression de la coénergie doit tenir compte de sa dépendance vis à vis de i_b . On remplace donc (S03-76) par

(S03-81)

En utilisant les équations de la théorie des circuits glissants linéiques, on obtient alors

(S03-82)

On vérifie immédiatement que, lorsque r_b = r_a , la tension u_b devient égale à u_a .

La connaissance de u_b permet entre autres de voir dans quelles conditions l'équation (S03-49) est bien vérifiée.
Puisque la fonction (S03-84) est sinusoïdale, une de ses deux premières dérivées est forcément différente de zéro. Ces deux premières dérivées sont, au point considéré,

(S03-83a)

et

(S03-83b)

En mode commandé, l'angle de position r_a est déterminé par la commande du dispositif.

Pour une simulation numérique, si on prend comme variables d'état les courants, leurs dérivées peuvent s'obtenir à chaque instant en résolvant le système d'équation linéaire (S03-78). Si l'on préfère utiliser comme variables d'état les flux, on peut utiliser les équations suivantes, qui sont obtenues directement par l'application des formules théoriques (S01-15) et (S01-18),

(S03-84a)

(S03-84b)

où les courants peuvent être obtenus par inversion des équations (S03-77) .

L'évolution de la vitesse mécanique est régie par une équation de la forme

(S03-85)

où J est l'inertie mécanique de la machine, C_p son couple de pertes mécaniques et C_r son couple antagoniste, et où le couple électromécanique est donné par (S03-79).

Pour pouvoir appliquer les équations (S03-84), il faut disposer à chaque instant de la dérivée de r_a . Si cela pose un problème, les équations (S03-78) constituent une alternative intéressante.

Enfin, il est utile de vérifier en cours de simulation la condition (S03-49) en utilisant les expressions (S03-83), sans oublier les contraintes supplémentaires éventuelles telles que condition (S03-43). Si, en cours de simulation, une de ces contraintes n'est pas vérifiée, cela signifie soit qu'il faut modifier le modèle utilisé, soit que la machine est effectivement entrée dans un mode de fonctionnement dangereux (risque de perte de contrôle suivi de l'apparition d'un courant excessif par exemple).

En régime permanent, les dérivées des courants, des flux et de r_a sont nulles. Les équations électriques se simplifient et on obtient, au lieu de (S03-78),

(S03-86a) u_f = R_f i_f ,

(S03-86b) u_a = w M_{o f} i_f sin(- r_a) - (R_a i_a) .

Les expressions (S03-83) se simplifient aussi de sorte que, une fois introduites dans la contrainte (S03-49), cette dernière se réduit à

(S03-87) - M_{o f} i_f cos(r_a) i_a - L_a i_a² > 0

d'où l'on tire

(S03-88a) - [M_{o f} i_f/ L_a] cos(r_a) < i_a < 0 si cos(r_a) > 0

et

(S03-88a) 0 < i_a < - [M_{o f} i_f/ L_a] cos(r_a) si cos(r_a) < 0

La contrainte (S03-88) montre que l'on ne peut trouver une valeur acceptable de r_a que si la valeur absolue du courant vérifie

(S03-89) |i_a| < M_{o f} i_f/ L_a .

En comparant (S03-88) à (S03-86b), on voit que l'ensemble des points de fonctionnement possibles est contenu à l'intérieur d'une ellipse (du moins si la résistance R_a est linéaire). Si on néglige la résistance d'induit et que l'on normalise u_a et i_a comme indiqué à la figure ci-dessous, cette ellipse devient un cercle de rayon unité centrée sur l'origine.

Sur cette figure, on n'a représenté que les régimes à courant i_a négatifs, ce qui est le cas de tous les régimes si les interrupteurs sont unidirectionnels et orientés comme à la figure S03-21 . Pour obtenir une disposition correspondant à la pratique habituelle, l'axe des abscisse de la figure (S03-25) correspond à la variable - i_a .

Pour valider le modèle à circuit glissant linéique, on peut comparer les résultats qu'il fournit en régime permanent à ceux du modèle filiforme de référence. Pour cela, il faut que les paramètres des deux modèles se correspondent. Commençons par une identification "brutale" consistant à donner la même valeur aux paramètres similaires, donc L_f commun aux deux modèles et

(S03-91) M_{o f} = M_o

(S03-92) L_a = M

et

(S03-93) R_a = 0

En outre, si le dispositif de commande impose l'angle de retard f entre le moment où la tension d'un branchement devient supérieure à la tension du branchement précédent, on posera, conformément à la figure S03-23,

(S03-94)

L'étude du modèle filiforme de référence montre que, à la limite où le nombre n de branchements tend vers l'infini, la caractéristique statique vérifie exactement l'équation (S03-79).

En pratique, on souhaite appliquer le modèle à des machines à nombre fini de branchements, de sorte qu'il est intéressant d'examiner l'influence de ce nombre sur la précision du modèle à circuit glissant linéique. Le modè filiforme de référence montre alors que la tension ne dépend pas uniquement de l'angle f de commande, mais aussi de la valeur du courant. Nous utiliserons donc pour effectuer les comparaisons des graphes tension-courant sur lesquels nous porterons les caractéristiques déduites de chacun d'un modèle à circuit glissant linéique d'une part, du modèle filiforme de référence d'autre part.

Si nous conservons la liaison rigide (S03-94) entre l'angle r_a et l'angle f, et que nous utilisons à nouveau la correspondance (S03-91) à (S03-94) entre les paramètres des deux modèles, on obtient selon le nombre de branchements du dispositif les figures ci-dessous.

Figure à faire

Figure S03-26

On constate que la précision est raisonnable dans le cas d'un dispositif à 12 branchements, acceptable (à préciser) dans le cas d'un dispositif à 6 branchements et .... très mauvaise dans le cas d'un dispositif à 3 branchements.

On peut améliorer la correspondance entre les deux modèles en définissant autrement les paramètres du modèle à circuit glissant. En particulier, on peut obtenir la valeur correcte de la tension à f nul si on remplace (S03-89) par

(S03-95)

Cette équation se ramène à (S03-89) lorsque le nombre de branchements tend vers l'infini puisque l'angle d tend alors vers zéro, de sorte que la fraction sin(d) / d tend alors vers 1.

Avec cette modication, les horizontales de la théorie des circuits glissants linéiques sont situées plus bas, et se rapprochent donc des caractéristiques du modèle détaillé.

Il est possible d'obtenir une concordance parfaite entre les caractéristiques statiques en introduisant entre l'angle r et l'angle de commande un décalage ad hoc. Nous ne nous engagerons pas dans cette voie parce que nous développerons plus loin un modèle non linéique permettant d'obtenir le même résultat de façon rationnelle.

Dernière mise à jour le 27-08-2004