Circuits glissants et non linéiques
4. Modèles à deux circuits glissants linéiques
Exemple : Machine à commutation avec deux paires de balais
On va considérer la machine à commutation schématiquement représentée ci-dessous.
Figure S04-11. Machine à commutation à deux paires de balais
Nous considérons un modèle linéaire (pas de prise en compte de la saturation), ce qui nous permet d'utiliser les techniques matricielles vues dans le texte de référence.
La matrice d'inductances sera
(S04-31) 
où Lf = const. , Ld = Ld (rd), Lq = Lq (rq), Mfd = Mfd (rd ), Mfq = Mfq (rq ) et Mdq = Mdq (rd , rq ).
Pour la position de balais considérée, on a Mfq = 0 , Mdq = 0 et Ld = Ld max , Lq = Lq min , Mfd = Mfd max .
Compte tenu de ces conditions, la matrice L devient
(S04-32) 
et la matrice Gr est
(S04-33) 
L'équation matricielle [1.97] du texte de
référence donne alors, en posant 
(S04-34)
où Ra = Rd = Rq .
Le couple électromagnétique est donné par la formule [1.106] du texte de référence. On a
(S04-35) 
Observons qu'il y a un couple même pour if = 0 . Ce couple est associé à la saillance magnétique du stator et disparaît en l'absence de saillance puisque l'on a alors
(S04-36) 
.
Les machines classiques à collecteur avec deux paires de balais ont été construites dans le passé (amplidynes, métadynes, etc.) mais elles n'ont plus d'intérêt technique aujourd'hui. Mais leurs équations continuent d'être utiles, parce qu'un certain nombre de machines à commutation électronique modernes se comportent de la même façon et parce que les équations constituent un modèle équivalent pour les machines synchrones, toujours en usage.
L'équivalence avec les machines synchrones s'obtient quand on considère que les couplages magnétiques sont des fonctions sinusoïdales des coordonnées rd , rq :
(S04-37) |
Ld = Lo + L2 cos 2 rd Lq = Lo + L2 cos 2 rq Mfd = M cos rd Mfq = M cos rq Mdq = Lo cos (rd - rq ) + L2 cos (rd + rq ) |
En posant
(S04-38) |
yd = (Lo + L2 ) id + M if yq = (Lo - L2 ) iq yf = (Lf if + M id ) |
les équations (S04-34) deviennent
(S04-39) |
uf = Rf if + p yf
|
Si on considère le régime permanent et que l'on pose
,
,
,
on obtient les équations de l'induit
(S04-40a) ud = Ra id + Xq iq
(S04-40b) uq = Ra iq - Xd id - Eo
Celles-ci sont les équations proposées par Blondel pour la machine synchrone (théorie de la double réaction).
La relation entre les variables ia et ib de la machine synchrone (diphasée) et les variables id et iq de la machine à courant continu équivalente est
(S04-41) 
La transformation de rotation (S04-41) est connue en machines électriques sous le nom de transformation de Park.
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Dernière mise à jour le 20-07-2004
