Intérêts de recherche
- Applications Sobolev
- Désingularisation de tourbillons
- Estimations \(L^1\)
- Schrödinger magnétique non linéaire
- Choquard
- Symétrie de solutions
- Équation de Schrödinger non linéaire
- Symétrisation
- Homogénisation
- Divers
Le contexte : calcul des variations et équations aux dérivées partielles
Mes recherches visent à analyser mathématiquement des problèmes du calcul des variations et des équations aux dérivées partielles. Les équations différentielles ordinaires établissent une relation entre une fonction et ses dérivées. La solution d'une équation différentielle est une fonction plutôt qu’un nombre. Les équations différentielles ordinaires sont omniprésentes dans les modèles physiques, à commencer par la théorie de la gravitation d’Isaac Newton, qui établit une relation entre la position en fonction du temps et l’accélération, qui est mathématiquement la dérivée seconde de la position. D'autres modèles incluent l'équation logistique de Pierre-François Verhulst pour la population et les équations des circuits électriques.
Les équations aux dérivées partielles concernent des fonctions de plusieurs variables. Par exemple, l’équation de la chaleur modélise la température en fonction du temps et de la position dans l’espace, via une relation entre la dérivée temporelle et la dérivée seconde spatiale. Ces équations apparaissent dans la plupart des modèles impliquant des variables temporelles et spatiales, comme l’équation de la chaleur de Fourier, les équations de Navier-Stokes en mécanique des fluides (utilisée pour la prévision météorologique, la modélisation climatique et la conception aérodynamique), les équations de Maxwell en électromagnétisme (utilisées pour les moteurs et les transmissions sans fil), l’équation de Schrödinger en physique quantique, les équations de champ d’Einstein en relativité générale, les équations de réaction-diffusion dans le mécanisme d’instabilité de Turing en morphogenèse, et l’équation de Black-Scholes pour la tarification des produits financiers dérivés.
Le calcul des variations consiste à trouver des fonctions qui minimisent ou maximisent une certaine quantité. Par exemple, le problème isopérimétrique demande quelle courbe de longueur donnée enferme la plus grande aire — le cercle étant le candidat évident. Le problème de la brachistochrone consiste à trouver la courbe le long de laquelle une bille voyagerait d’un point à un autre en un temps minimal — une telle courbe serait dangereusement amusante sur les terrains de jeux pour enfants. D’autres problèmes pratiques incluent la minimisation de la résistance de l’air d’une forme ou la maximisation de l’isolation thermique avec une quantité donnée de matériau. Théoriquement, de nombreux modèles physiques d’équations différentielles peuvent être reformulés comme des problèmes de minimisation, appelés principes de moindre action. Par exemple, le principe de Fermat reformule la loi de Snell sur la réfraction comme la lumière suivant le chemin le plus rapide.
Le calcul des variations et les équations différentielles sont aussi des outils importants pour répondre à des questions géométriques. Les géodésiques, définies comme les chemins les plus courts sur des surfaces courbes, et leurs généralisations en dimensions supérieures appelées applications harmoniques, sont des solutions à des problèmes de calcul des variations et d’équations différentielles. La solution de Perelman à la conjecture de Poincaré repose sur le flot de Ricci, une équation aux dérivées partielles qui décrit la diffusion de la courbure sur une variété. Outre leurs applications sérieuses en mathématiques, sciences et technologies, le calcul des variations et les équations différentielles sont utilisés en infographie pour les jeux vidéo et les films.
Questions mathématiques
Contrairement aux équations algébriques pour lesquelles nous avons appris des formules à l’école, la plupart des problèmes en calcul des variations et en équations aux dérivées partielles n’ont pas de formules de solution — cela peut être démontré par un théorème en théorie de Galois différentielle. Des algorithmes permettent de calculer des solutions approximatives. L’analyse mathématique de ces problèmes étudie l’existence des solutions, leur unicité, leur dépendance aux paramètres du problème et leurs propriétés qualitatives comme la symétrie et la convexité.
Bien que l’analyse mathématique semble être la discipline de la précision infinie, elle procède essentiellement par le contrôle des erreurs d’approximation. Cela nécessite le développement d’inégalités pour les fonctions impliquant des intégrales et des dérivées, comme les inégalités de Sobolev.
Les problèmes en calcul des variations et en équations aux dérivées partielles peuvent être vus comme des analogues de l’optimisation à une variable et de la résolution d’équations sur des espaces de fonctions de dimension infinie. De même que l’ensemble des nombres rationnels manque des nombres importants comme \(\sqrt{2}\) et \(π\), les espaces classiques de fonctions différentiables sont mal adaptés à de nombreux problèmes. Les espaces de Sobolev et leurs généralisations fournissent des espaces bien comportés au prix d’inclure des fonctions plus irrégulières. Il est donc nécessaire de comprendre la structure de ces espaces de fonctions et les propriétés des fonctions qu’ils contiennent.
Quelques contributions
Applications harmoniques et de Sobolev
Selon l’équation classique de la chaleur, la configuration d’équilibre de la température est une fonction harmonique. Si l’on veut modéliser la magnétisation par un vecteur unitaire avec la même approche, on obtient des applications harmoniques dans la sphère. En général, les applications harmoniques dans des surfaces ou des variétés sont des objets délicats, en raison de la contrainte non linéaire. Mes contributions à la théorie des espaces de Sobolev d’applications incluent, l’approximation forte par des applications lisses dans des espaces de Sobolev d’ordre supérieur (avec P. Bousquet et A. Ponce), la description de singularités topologiques avec des détecteurs de Fuglede (également avec P. Bousquet et A. Ponce), le relèvement d’applications de Sobolev fractionnaires pour un espace de recouvrement compact (avec P. Mironescu), l’extension des traces d’applications de Sobolev et l’obstruction analytique à l’approximation faible (avec A. Detaille).
Certains modèles de supraconductivité et problèmes en infographie conduisent à des problèmes d’applications harmoniques sans solution dans l’espace de Sobolev naturel. On peut toutefois définir des familles de problèmes relaxés dont les solutions convergent vers l’application harmonique désirée. Cette approche a été développée par F. Bethuel, H. Brezis et F. Hélein pour la relaxation de Ginzburg-Landau. J’ai décrit les asymptotiques pour une cible compacte générale sur des domaines bidimensionnels pour les relaxations de Ginzburg-Landau (avec A. Monteil et R. Rodiac), pour les relaxations ppp-harmoniques (avec B. Van Vaerenbergh), ainsi que pour des cibles avec un groupe fondamental fini (avec B. Bulanyi et B. Van Vaerenbergh).
Tourbillons de fluide
Certains modèles de fluides bidimensionnels comme les équations d’Euler et les équations du lac ont des tourbillons ponctuels comme solutions généralisées. En raison de leurs singularités, ils ne peuvent être considérés comme des solutions classiques. Une façon de justifier ces solutions est de montrer qu’elles sont limites de solutions classiques. J’ai réalisé cela dans le cas stationnaire des équations d’Euler bidimensionnelles (avec D. Smets), des équations du lac (avec S. De Valeriola), et pour le problème évolutif des équations du lac (avec J. Dekeyser).
Problèmes elliptiques semi-linéaires
J’ai travaillé sur plusieurs problèmes elliptiques semi-linéaires, notamment l’équation de Schrödinger non linéaire (avec D. Bonheure et V. Moroz) et l’équation de Schrödinger magnétique non linéaire (avec D. Bonheure, M. Nys, S. Fournais, L. Le Treust, N. Raymond et J. Di Cosmo). J’ai également travaillé sur l’équation de Choquard, aussi appelée équation de Hartree ou de Schrödinger, avec V. Moroz et d’autres collaborateurs. Cette équation présente une non-linéarité non locale, qui dissocie la superquadraticité de la non-linéarité de la superlinéarité de l’équation, créant un problème de type Brezis-Nirenberg à l’infini et modifiant le comportement à l’infini observé dans l’équation de Schrödinger locale. Nos travaux ont suscité une activité considérable par la suite.
Estimations de Bourgain-Brezis
Au début des années 2000, J. Bourgain et H. Brezis ont obtenu plusieurs nouvelles estimations de Sobolev inattendues en cas limite. J’ai fourni des démonstrations de versions affaiblies de leurs inégalités, significativement plus courtes. J’ai aussi introduit une classe d’opérateurs annulants qui caractérisent les opérateurs différentiels avec des estimations de Sobolev au point limite \(p=1\).
La formule de Brezis–Van Schaftingen–Yung
En 2021, H. Brezis, P.-L. Yung et moi-même avons obtenu une nouvelle caractérisation des espaces de Sobolev en termes de quantités de type faible. Nos estimations et les espaces fonctionnels associés ont été développés dans de nombreuses directions, incluant la théorie d’interpolation des espaces fonctionnels et l’analyse harmonique.
