L’équation de Choquard s'écrit dans \(\mathbb{R}^N\) s'écrit \[ -\Delta u + V u = (I_\alpha \ast u^p)u^{p - 1}, \] où \(I_\alpha : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) est un potentiel de Riesz défini pour \(x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}\) par \[ I_\alpha (x) = \frac{A_\alpha}{\vert x \vert^{N - \alpha}}. \] Cette équation a été introduite en 1976 par P. Choquard pour décrire un électron emprisonné dans son propre trou. Elle apparaît aussi dans la théorie des polarons aux repos et dans des modèles d'interaction entre mécanique quantique non relativiste et gravitation.
Pour cette équation,
- avec V. Moroz, nous avons montré sous certaines conditions que cette équation n’a pas de sursolution dans les domaines extérieurs,
- avec V. Moroz, dans le cas autonome \(V = 1\), nous avons étudié les propriétés des solutions et l’existence de solutions pour des nonlinéarités générales, le problème correspondant dans le plan ayant été étudié avec L. Battaglia,
- avec V. Moroz, nous avons étudié des inégalités de type Hardy non locale associées,
- avec V. Moroz, nous avons construit des solutions dans la limite semi-classique,
- avec Xia Jiankang, nous avons étudié le cas des potentials confinants et la limite semi-classique dans le cas de la fréquence critique,
- avec V. Moroz, nous avons étudié l’existence de solutions lorsque \(p = 1 + \frac{\alpha}{N}\) est
l’exposant critique inférieur, - avec V. Moroz et M. Ghimenti, nous avons étudié l’existence de solutions nodales d’énergie minimale,,
- avec D. Ruiz, nous avons étudié la symétrie impaires de ces solutions nodales d’action minimale,
- avec D. Bonheure et S. Cingolani, nous avons montré la non-dégénerescence de la solution fondamentale de l’équation de Choquard logarithmique en deux dimensions.
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