Applications Sobolev
Approximation
Si \(M\) est une variété compacte et \(N \subset \mathbb{R}^\nu\) est une variété compacte immergée, on considère pour \(k \in \mathbb{N}_*\) et \(p \ge 1\) l'espace de Sobolev \[ W^{k, p}(M, N)=\bigl\{ u \in W^{k, p}(M, \mathbb{R}^\nu)\;:\; u \in N \text{ presque partout dans } M \bigr\}. \] On se demande si la classe des fonctions lisses \(C^\infty(M, N)\) est dense dans \(W^{k, p}(M, N)\). En général, la réponse est négative. Pour \(k=1\), Bethuel, et Hang et Lin ont démontré que la réponse est positive si et seulement \(M\) et \(N\) satisfont une condition topologique.
Avec Pierre Bousquet and Augusto Ponce, nous avons résolu le problème correspondant pour \(k \ge 2\) en développant des outils adéquats pour les espaces de Sobolev d’ordre supérieur et nous avons développé des outils de criblage topologique caractérisant les applications approchables. Nous nous sommes aussi intéressés à des problèmes de densité pour des espaces de Sobolev fractionnaires. Nous avons aussi étudié le problème de densité pour des espaces de Sobolev dans des variétés complétes mais non compactes, pour lequelle une nouvelle obstruction géométrique apparaît quand \(p\) est un entier, tant pour l’approximation forte que l’approximation faible.
Avec Antoine Detaille, nous avons construit pour tout \(p \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\) une variété \(N\) pour laquelle on n’a pas densité faible.
Extension des traces
J’ai caractérisé les variétés pour lesquels l’opérateur de trace est surjectif en construisant des extensions dans les cas où aucune obstruction analytique et topologique n’était connue.
Avec Katarzyna Mazowiecka, nous avons donné une caractérisation des traces liée au criblage topologique. J’ai démontré que le caractère local de l’extension des traces.
En collaboration avec Mircea Petrache et avec Bohdan Bulanyi, nous avons construit des extensions d’applications de la sphère \(\mathbb{S}^{n}\) vers une variété compacte \(N\) en des applications de la boule \(\mathbb{B}^{n + 1}\) de manière à ce que la norme Marcinkiewicz faible \(L^{n +1}\) de l’extension soit contrôlée par la norme de Sobolev critique \(W^{n + 1, n/(n + 1)}\) de l’application originelle.
Relèvement
Avec Petru Mironescu, nous avons achevé la solution du problème du relèvement des applications Sobolev fractionnaires en construisant des relèvements sur des revêtements non compacts.
Lorsque l'espace de revêtement couvrant n'est pas compact, il n’y a pas de relèvement Sobolev en général. Pour le cercle, Petru Mironescu avait montré qu’on pouvait construire un relvement dans une somme d'espaces de Sobolev. J’ai démontré une version non linéaire de ce résultat; la notion de somme est liée à la caractérisation non linéaire des sommes d'espaces de Sobolev fractionnaires que j'ai donnée avec Rémy Rodiac.
Résultats divers
Avec ma doctorante Alexandra convent, nous avons proposé et étudié une définition intrinsèque d'espaces de Sobolev entre variétés riemanniennes. Cette définition repose sur un nouveau councept de dérivée faible adaptée au contexte non linéaire des variétés et aux espaces de Sobolev d’ordre supérieur.
Dans un travail avec Antoin Monteil, nous avons démontré un principe de la borne uniforme général pour les obstructions analytiques à l’approximation faible, l’extension et le relèvement dans les espaces de Sobolev d’applications entre variétés.
J’ai démontré des estimations générales sur l’homotopie d’une application Sobolev critique. Avec Armin Schikorra nous avons démontré des estimations fractionnaires sur le degré de Hopf.
