Étant donnée une solution \(u\) au problème de Dirichlet \[ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= f(u), & & \text{dans \(\Omega\)},\\ u&=0 & & \text{sur \(\partial \Omega\)}, \end{aligned} \right. \] on se pose la question de savoir sous quelles hypothèses la solution \(u\) hérite des symétries de son domaine. Gidas, Ni et Nirenberg ont démontré que si \(f\) est lipschitzienne, si \(u\) est strictement positive et si \(\Omega\) est une boule, alors \(u\) est une fonction radiale.

Avec Michel Willem, nous avons étendu une méthode de Thomas Bartsch, Michel Willem et Tobias Weth pour étudier la symétrie de solutions nodales de moindre énergie de \[ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u(x)+a(x)u(x) &= f(x, u(x)), & & \text{pour \(x \in \Omega\)},\\ u&=0 & & \text{sur \(\partial \Omega\)}, \end{aligned} \right. \] au cas où \(f\) n'est pas une fonction höldérienne.

Avec Denis Bonheure, Vincent Bouchez et Christopher Grumiau, nous avons étudié le problème de la symétrie des solutions nodales de moindre énergie de l'équation \[ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= \lambda u^p, & & \text{dans \(\Omega\)},\\ u&=0 & & \text{sur \(\partial \Omega\)}. \end{aligned} \right. \] pour \(p > 1\). Nous avons étudié le comportement asymptotique de solutions quand \(p \to 1\). Cela nous a permis d'obtenir des résultats de symétrie quand la seconde valeur propre du laplacien n'est pas dégénérée, des résultats de brisure de symétrie et de conjecturer que quand \(\Omega\) est un carré, les solutions nodales de moindre énergie sont symétriques par rapport aux diagonales.