L’équation d’Euler pour des écoulements incompressibles \[ \left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{v} &= 0\\ \mathbf{v}_t + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} &= -\nabla p, \end{aligned} \right. \] possède en deux dimensions des solutions singulières, où le tourbillon est une somme de masse de Dirac. La localisation des tourbillons est régie par une dynamique hamiltonienne. Ces solutions sont des solutions au sens des distributions.

Avec Didier Smets, nous avons montré que certaines solutions tourbillon stationnaires pouvaient être approximée par des solutions stationnaires classiques. Pour cela nous construisons le champ de vitesse comme \(\nabla \psi^\perp\), où \[ \left\{ \begin{aligned} -\varepsilon^2 \Delta \psi & = \psi_+^p & & \text{dans \(\Omega\)},\\ \psi&=\psi_0-\frac{\kappa}{2\pi} \ln \frac{1}{\varepsilon} & & \text{sur \(\partial \Omega\)}. \end{aligned} \right. \] Nous traitons notamment le cas d’un tourbillon et d'une paire de tourbillons stationnaires dans un domaine borné et d’une paire tourbillons en translation dans \(\mathbb{R}^2\).

Avec S. De Valeriola, nous avons étudié le problème correspondant pour les anneaux de tourbillon pour des écoulements tridimensionnels axisymétriques et pour l'équation de Saint-Venant. Dans ces cas, la vitesse diverge comme \(\log \varepsilon\) sur le bord.