Si \(M\) est une variété compacte et \(N \subset \mathbb{R}^\nu\) est une variété compacte immergée, on considère pour \(k \in \mathbb{N}_*\) et \(p \ge 1\) l'espace de Sobolev \[ W^{k, p}(M, N)=\bigl\{ u \in W^{k, p}(M, \mathbb{R}^\nu)\;:\; u \in N \text{ presque partout dans } M \bigr\}. \] On se demande si la classe des fonctions lisses \(C^\infty(M, N)\) est dense dans \(W^{k, p}(M, N)\). En général, la réponse est négative. Pour \(k=1\), Bethuel, et Hang et Lin ont démontré que la réponse est positive si et seulement \(M\) et \(N\) satisfont une condition topologique.
Avec Pierre Bousquet and Augusto Ponce, nous avons résolu le problème correspondant pour \(k \ge 2\) en développant des outils adéquats pour les espaces de Sobolev d’ordre supérieur. Nous nous sommes aussi intéressés à des problèmes de densité pour des espaces de Sobolev fractionnaires. Nous avons aussi étudié le problème de densité pour des espaces de Sobolev dans des variétés complétes mais non compactes, pour lequelle une nouvelle obstruction géométrique apparaît quand \(p\) est un entier, tant pour l’approximation forte que l’approximation faible.
Avec ma doctorante Alexandra convent, nous avons proposé et étudié une définition intrinsèque d'espaces de Sobolev entre variétés riemanniennes. Cette définition repose sur un nouveau councept de dérivée faible adaptée au contexte non linéaire des variétés et aux espaces de Sobolev d’ordre supérieur.
En collaboration avec Mircea Petrache, nous avons construit des extensions d’applications de la sphère \(\mathbb{S}^{n}\) vers une variété compacte \(N\) en des applications de la boule \(\mathbb{B}^{n + 1}\) de manière à ce que la norme Marcinkiewicz faible \(L^{n +1}\) de l’extension soit contrôlée par la norme de Sobolev critique \(W^{n + 1, n/(n + 1)}\) de l’application originelle.
Alexandra Convent et Jean Van Schaftingen, Higher order intrinsic weak differentiability and Sobolev spaces between manifolds, Adv. Calc. Var. 12 (2019), n°3, 303–332.
doi:10.1515/acv-2017-0008 DIAL:197260 arXiv:1702.07171
Pierre Bousquet, Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, Weak approximation by bounded Sobolev maps with values into complete manifolds, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 356 (2018), n°3, 264–271.
doi:10.1016/j.crma.2018.01.017 DIAL:196135 arXiv:1701.07627
Jean Van Schaftingen, Sobolev mappings: from liquid crystals to irrigation via degree theory, Lecture notes of the Godeaux Lecture delivered at the 9th Brussels Summer School of Mathematics (2018)
Pierre Bousquet, Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, Density of bounded maps in Sobolev spaces into complete manifolds, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 196 (2017), n°6, 2261–2301.
doi:10.1007/s10231-017-0664-1 SharedIt DIAL:185227 arXiv:1501.07136
Mircea Petrache et Jean Van Schaftingen, Controlled singular extension of critical trace Sobolev maps from spheres to compact manifolds, Int. Math. Res. Not. IMRN 2017 (2017), n°12, 3467–3683.
doi:10.1093/imrn/rnw109 DIAL:186080 CVGMT:2784 arXiv:1508.07813
Alexandra Convent et Jean Van Schaftingen, Intrinsic colocal weak derivatives and Sobolev spaces between manifolds, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 16 (2016), n°1, 97–128.
doi:10.2422/2036-2145.201312_005 DIAL:173889 arXiv:1312.5858
Alexandra Convent et Jean Van Schaftingen, Geometric partial differentiability on manifolds: the tangential derivative and the chain rule, J. Math. Anal. Appl. 435 (2016), n°2, 1672–1681.
doi:10.1016/j.jmaa.2015.11.036 DIAL:167763 arXiv:1501.01223
Pierre Bousquet, Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, Strong density for higher order Sobolev spaces into compact manifolds, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17 (2015), n°4, 763–817.
doi:10.4171/JEMS/518 DIAL:158312 arXiv:1203.3721
Pierre Bousquet, Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, Strong approximation of fractional Sobolev maps, J. Fixed Point Theory Appl. 15 (2014), n°1, 133–153.
doi:10.1007/s11784-014-0172-5 SharedIt DIAL:153456 arXiv:1310.6017
Pierre Bousquet, Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, Density of smooth maps for fractional Sobolev spaces \(W^{s, p}\) into \(\ell\)–simply connected manifolds when \(s \ge 1\), Confluentes Math. 5 (2013), n°2, 3–22.
doi:10.5802/cml.5 DIAL:135962 arXiv:1210.2525
Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, Closure of Smooth Maps in \(W^{1,p}(B^3;S^2)\), Differential Integral Equations 22 (2009), n°9–10, 881–900.
euclid.die/1356019513 DIAL:58605 arXiv:0901.4491
Pierre Bousquet, Augusto C. Ponce et Jean Van Schaftingen, A case of density in \(W^{2,p}(M;N)\), C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), n°13–14, 735–740.
