ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs
électromécaniques
Semaine 2 : Utilisation d'un modèle "circuit"
Guidance
Premier volet de variables et d'équations d'évolution de la théorie des circuits
On attribue à chaque branche (numérotée par l'indice k) une variable,
à savoir le courant ik. Il peut s'y ajouter des variables internes comme la
charge, mais ces variables n'interviennent pas dans les équations ci-dessous.
Les courants obéissent à la loi des noeuds de Kirchhoff : la somme des courants
qui "sortent" d'un noeud est nulle.
Plus précisément, étant donné un nœud j , la somme des courants de toutes les branches qui ont ce nœud comme origine est égale à la somme des courants de toutes les branches qui ont ce nœud comme extrémité.
On peut écrire cette loi sous la forme
(S02-3) 
où les mjk sont les éléments de la matrice d'incidence.
Commentaire S02-1 : à propos des indices "haut"
La loi des nœuds fournit autant d'équations algébriquement indépendantes qu'il y a de nœuds moins le nombre de parties connexes.
Donc, pour un graphe connexe, la loi des nœuds fournit autant d'équations algébriquement indépendantes qu'il y a de nœuds moins 1.
Compte tenu de (S02-3), le nombre d'équations indépendantes n'est autre que le rang de la matrice d'incidence !
Loi des coupes
La loi des nœuds s'étend facilement aux coupes. Une coupe est un ensemble de branches telles que, si on les supprime, le nombre de parties connexes du circuit augmente d'une unité.
Un exemple trivial de coupe est l'ensemble des branches reliées à un nœud particulier.
Dans beaucoup de cas, les liaisons électriques monophasées peuvent être représentées par une coupe comportant deux branches, les liaisons électriques triphasées par une coupe comportant trois branches (comme à la figure S02-3) et ainsi de suite.
Figure S02-3 : exemple de coupe comportant trois branches.
Dans cet exemple, les nœuds sont indicés par des lettres
et les branches par des nombres entiers.
La loi des coupes dit que la somme des courants qui traversent la coupe (multipliés par -1 lorsque l'orientation de leur branche ne correspond pas à celle de la coupe) est nulle. Par exemple, dans le cas de la figure S02-3, on a
(S02-4) i1 + i2 + i3 = 0
ce qui est bien connu dans le cadre des liaisons triphasées.
Pour démontrer la loi des coupes, il suffit de sélectionner, parmi les équations (S02-2), celles qui correspondent à un nœud situé à gauche de la coupure et de les sommer. On obtient ainsi l'équation
(S02-5) 
dont il est facile de montrer qu'elle ne contient plus que les courants relatifs à la coupure.
Les courants des branches internes à la partie gauche de la coupe s'éliminent de la somme (S02-5).
Exercice proposé S02-3 : vérification de la loi des coupes dans un cas particulier.
Variables internes
On peut relier au courant i des variables "internes", c'est-à-dire qui n'apparaissent pas dans les lois de Kircchoff. Je propose d'introduire la charge q et le courant non capacitif j et de les relier au courant total i par l'équation
(S02-6) 
Cette équation peut en effet s'appliquer à tous les éléments classiques de la théorie des circuits en annulant soit q soit j .
Peut-être exigerez-vous avant de l'adopter une justification supplémentaire à l'introduction de la loi (S02-6). Alors, on notera que la densité de courant J présente dans l'équation de Maxwell-Ampère ne correspond pas à i, mais à j. L'introduction de la grandeur j permet donc de mettre plus facilement en correspondance les grandeurs des modèles "circuit" avec celles des modèles "champ", et donc, d'un point de vue pratique, de calculer les unes en fonction des autres.
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Dernière mise à jour le 17-07-2002
