ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 2 : Utilisation d'un modèle "circuit"
Guidance

Les éléments idéaux de la théorie des circuits

La théorie des circuits s'est construite autour de quelques éléments idéaux : source de tension, source de courant, capacité, inductance, résistance, transformateur idéal, gyrateur...

Ces éléments sont habituellement introduits en terme de courant et de tension uniquement. Dans ce cas, la capacité et l'inductance sont définies par des équations différentielles. Or, on a souvent intérêt à utiliser des relations constitutives purement algébriques. Cet intérêt apparaîtra plus loin lors de l'introduction des inductances couplées et, surtout, non linéaires.

Pour l'instant, contentons-nous de constater que l'on peut définir la capacité et l'inductance idéale par une relation purement algébrique, en utilisant pour ce faire les variables internes y et q .

L'inductance idéale peut alors être définie comme un élément inductif qui véfie, outre (S02-12) et donc (S02-13), les relations

(S02-20a) y = L i

(S02-20b) e = 0

En effet, en combinant (S02-20) avec (S02-8), on retrouve la formule habituelle

(S02-21)

De même, on peut définir la capacité idéale comme un élément capacitif qui véfie, outre (S02-14) et donc (S02-15), les relations

(S02-22a) q = C u

(S02-22b) j = 0

En effet, en combinant (S02-22) avec (S02-6), on retrouve la formule habituelle

(S02-23)

Enfin, on peut définir la résistance idéale comme un élément galvanique qui vérifie, outre (S02-16) et donc (S02-17), la formule habituelle

(S02-24) u = R i

Un point de vue similaire à celui développé ici peut être trouvé à la référence suivante :
M. Hasler & J. Neirynck, circuits non linéaires, Presses polytechniques romandes.
Ces auteurs introduisent un quatrième élément fondamental, la memristance, par une relation entre y et q , à savoir

(S02-25) y = M q

tout en reconnaissant que peu de dispositifs réels peuvent être modélisés par cet élément.

Le lecteur aura observé que nous avons séparé les équations des circuits en trois parties :

Dans cette formulation, les équations d'évolution (celles qui comportent des dérivées) ne font appel à aucun paramètre propre à l'élément considéré.
Par contre, les relations constitutives (qui comportent des paramètres propres à l'élément considéré, comme C, L, R, k...) sont purement algébriques. Les deux volets d'équations d'évolution utilisent des variables différentes ; par contre, les relations constitutives établissent le lien entre les variables des deux volets. La figure ci-dessous symbolise cette situation.

Figure S02-9 : formalisme proposé pour la théorie de circuits

Le formalisme proposé ci-dessus peut sembler inutilement lourd. Il présente pourtant de nombreux avantages.
Un de ces avantages est la facilité de généralisation de la théorie ainsi formulée : pour introduire de nouveaux éléments, il suffira de modifier les relations constitutives, les équations d'évolution et les théorèmes qui en découlent restant inchangés.
Un autre avantage apparaît lorsque l'on effectue une simulation numérique d'un circuit. En effet, on utilise en général pour ce faire une solution approchée. C'est notamment le cas lorsque l'on discrétise le temps ; la solution obtenue tend vers la solution exacte lorsque le pas de calcul tend vers zéro, mais n'est jamais exacte.
Une solution approchée ne peut pas vérifier exactement les trois ensembles d'équations distingués ci-dessus, car ce serait alors une solution exacte. Cependant, il est intéressant qu'elle vérifie exactement une partie de ces groupes, car certains théorèmes de la théorie des circuits s'appliqueront alors de façon exacte à la solution approchée.

Enfin, ce formalisme est calqué sur un formalisme très utilisé en électromagnétisme, et dont l'origine remonte à Maxwell. En soumettant la théorie des circuits à un formalisme similaire à celui de l'électromagnétisme, nous préparons la mise en correspondance des deux théories, et donc, très concrètement, le calcul des grandeurs et paramètres d'un type en fonction de ceux de l'autre type.

Page précédente

Suite de la guidance

Retour au menu de la semaine 2

Retour à la page d'accueil

Besoin d'une aide personnalisée ?

Dernière mise à jour le 08-08-2002