ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance

Structure préalable de l'électromagnétisme

Rudiments de topologie différentielle

La description locale des phénomènes électromagnétiques repose sur les notions d'espace et de temps.

La notion mathématique qui correspond le mieux à la notion physique d'espace est celle de variété différentiable. Le lecteur qui le souhaite en trouvera une présentation "pour ingénieur" en annexe.

On considère habituellement un espace à trois dimensions (l'espace ordinaire) et un espace à une dimension (le temps).

D'un point de vue conceptuel, pour l'étude des milieux en mouvement, la solution la plus simple consisterait à considérer un espace à quatre dimensions (l'espace-temps). En effet, l'espace-temps est unique, alors que la définition de l'espace ordinaire dépend de l'observateur considéré.

Les symétries du problème traité permettent souvent d'en effectuer l'analyse dans un espace de dimension moindre, certaines directions pouvant être ignorées.

Ainsi, la coordonnée z est ignorée dans les dispositifs qui présentent une symétrie de translation selon cet axe, ce qui est pratiquement de cas des machines rotatives suffisamment longues dans la direction de leur axe.

La coordonnée de position angulaire j est ignorée dans les problèmes à symétrie cylindrique.

De façon tout à fait analogue, on ignore le temps lors de la description des problèmes statiques.

Exercice proposé S03-7 : exemple de calcul de dimension réduite.

Sur un espace de dimension n, nous appellerons "repère en un point P" un ensemble de n vecteurs formant une base des vecteurs définis en ce point P.

Pour les distinguer des grandeurs scalaires, nous désignerons les vecteurs soit à l'aide de caractères gras (u ), soit à l'aide d'une flèche ( ).

Nous appellerons référentiel un champ de repère. A tout système de coordonnée on associe son référentiel naturel (voir définition en annexe). La réciproque n'est pas vraie : seuls les référentiels holonomes peuvent être associé à un système de coordonnées.

Le référentiel utilisé n'est pas toujours le référentiel cartésien ( , , ) associé aux coordonnées x, y et z car d'autres repères conviennent mieux pour l'étude de dispositif présentant des symétries. En particulier, de nombreux dispositifs présentent une symétrie cylindrique. On utilise alors le référentiel naturel (, , ) associé aux coordonnées r, j, z ou le référentiel orthonormé (, , ) que l'on peut en déduire.

Ayant fait choix d'un référentiel, les champs de vecteurs sont caractérisés par n composantes,

ce qui permet le calcul numérique. On peut noter ces composantes à l'aide d'un indice i pouvant prendre n valeurs. Pour les vrais vecteurs, nous placerons cet indice en haut (attention à ne pas le confondre avec un exposant). Les composantes d'un vecteur u peuvent donc être notées

{ui ½ i = 1,2,3}

Pour la facilité, on omet habituellement de mentionner les valeurs prises par i, ainsi que les crochets. Les trois composantes d'un vecteur sont donc désignées par ui . Par extension, ui désignera le vecteur u lui-même, c'est ce que l'on appelle le langage des composantes.

Par convention, sauf indication contraire, les indices latins tels que i seront censés prendre les valeurs i = 1, 2 et 3 , tandis que les indices grecs comme µ prendront les valeurs µ = 0, 1, 2, 3 . Certains auteurs prennent la convention opposée ! Nous utiliserons un indice latin tel que a lorsque le nombre de valeurs possibles pour l'indice n'est pas fixé à 3 ou 4.

Il existe en fait plusieurs sortes de vecteurs. On distingue les vecteurs contravariants (vecteurs ordinaires) et les vecteurs covariants (ou covecteurs). La notation indicielle permet d'indiquer la "variance" du vecteur, ui désignant un vecteur contravariant et ui un vecteur covariant.

La distinction entre vecteurs co- et contra-variants est nécessaire pour pouvoir écrire de façon systématique (et non au cas par cas) la façon dont les composantes d'un vecteur se transforment lors d'un changement de référentiel si l'un des deux référentiels n'est pas orthonormé. Elle apparaît aussi dans l'usage des opérateurs différentiels qui peuvent être appliqués à un vecteur. En dimension 3, le rotationnel ne s'applique de façon naturelle qu'aux vecteurs covariants. Ce sont aussi les seuls pour lesquels on peut calculer une circulation en effectuant une intégrale de ligne. Pour fixer les idées, signalons que les champs électrique E et magnétique H sont des vecteurs covariants.

Moyennant le choix d'un référentiel, les tenseurs sont définis par nm composantes, numérotées à l'aide de m indices. L'ordre des indices est important. Chaque indice peut être contravariant ou covariant. On dit qu'un tenseur est symétrique (antisymétrique) en une paire d'indices de même variance si, en permutant les valeurs des deux indices de la paire, on obtient une composante égale (opposée) à celle de départ.

Les composantes d'un tenseur à deux indices peuvent être présentées sous forme de matrice. Habituellement, le premier indice numérote les lignes et le second les colonnes.

Exercice proposé S03-8 : nombre de composantes d'un tenseur.

La variance n'est pas la seule propriété permettant de distinguer plusieurs types de scalaires, vecteurs et plus généralement tenseurs. Ces grandeurs se distinguent aussi par leur poids. Les grandeurs de poids 1 sont appelées densités (scalaires, vectorielles ou tensorielles).

La distinction entre grandeurs de poids différents est nécessaire si l'on considère des mouvements accompagnés d'une déformation, ou encore si on utilise des référentiels non orthonormés.

Les différences de poids apparaissent aussi dans l'usage des opérateurs différentiels et des intégrales. En dimension 3, le gradient ne s'applique de façon naturelle qu'à un scalaire de poids nul. Par contre, la divergence ne s'applique de façon naturelle qu'aux vecteurs contravariants de poids 1, et le résultat de l'opération est un scalaire de poids 1, c'est-à-dire une densité scalaire. Ce n'est que pour les vecteurs contravariants de poids 1 (densités vectorielles) que l'on peut obtenir un flux en procédant à une intégrale de surface.

Pour fixer les idées disons que la température est un scalaire vrai (de poids 0) alors que la densité de charge r est un scalaire de poids 1 . Les champs de déplacement électrique D et d'induction B sont des vecteurs contravariants de poids 1.

Enfin, une dernière distinction concerne la parité, qui peut valoir 0 ou 1. Les grandeurs de parité 1 sont appelées pseudoscalaires, pseudovecteurs ou pseudotenseurs. La distinction entre grandeurs de parité différente est importante pour l'écriture des conditions de symétrie. Elle est aussi nécessaire si l'on veut utiliser des référentiels gauchers.

Les ouvrages d'électromagnétisme qui datent de quelques années distinguent les vecteurs polaires (parité 0) et les vecteurs axiaux (parité 1), ces derniers étant notés par une lettre surmontée d'une flèche courbe, comme les champs magnétiques H et B. Beaucoup d'auteurs ne mentionnent plus cette distinction, mais négligent de signaler que leurs formules ne sont valables qu'en référentiel droitier.

Le langage des composantes permet de définir facilement le produit tensoriel. Ainsi, le produit tensoriel d'un vecteur Ei et d'un vecteur Bj est le tenseur d'ordre 2

Ei Bj

Le poids du résultat s'obtient en sommant les poids des facteurs. Il en est de même de la parité, mais modulo 2.

La contraction d'un indice covariant et d'un indice contravariant conduit à un nouveau tenseur dont l'ordre est réduit de deux. On définit ainsi un "produit scalaire"

(S03-1) E.B = Si=1,2,3 Ei Bi

La contraction ne modifie ni le poids ni la parité.

Pour alléger les notations, on convient souvent (convention d'Einstein) que, lorsque la même lettre est utilisée pour noter un indice bas et un indice haut, il faut faire la sommation sur toutes les valeurs de ces indices. On note donc

(S03-2) E.B = Ei Bi

Notons que le produit scalaire est "naturel" lorsqu'il est effectué entre une grandeur covariante et une grandeur contravariante. Le produit scalaire de deux vecteurs quelconque demande l'intervention d'une structure supplémentaire de l'espace (structure métrique). Le principe de parcimonie nous amène donc à éviter de faire des produits scalaires entre des grandeurs de même variance. Indépendamment de la satisfaction intellectuelle que cette méthodologie procure, elle a aussi l'avantage de conduire à une formulation plus générale et souvent plus simple.

Considérations formelles

D'un point de vue théorique, la structure de l'espace et du temps est la structure préalable de l'électromagnétisme. C'est la description du théâtre dans lequel se jouent les phénomènes électromagnétiques.

Bien que, au niveau de l'ingénieur, l'espace soit euclidien, nous avons préféré dans la guidance de la semaine 2 rassembler les notions qui peuvent être étudiées sans faire appel à la structure métrique de l'espace. C'est une conséquence du principe de parcimonie. On peut considérer que les notions qui peuvent être dégagées dans ce cadre sont les plus fondamentales.

Propriétés d'invariance

Comme le choix d'un espace ordinaire peut être effectué de plusieurs façons (voir annexe), le principe d'invariance nous amène à examiner la façon dont on peut passer d'un choix à un autre (on dit que l'on change d'observateur).

Supposant que l'on conserve le même temps, la transformation à considérer s'appelle transformation de Galilée. Celle-ci est définie par donnée d'un champ de vitesse v (qui peut ne pas être uniforme) de l'espace de départ.

Si un objet se déplace dans le nouvel espace à une vitesse v2 , sa vitesse v1 dans l'espace de départ est donnée par

(S03-3) v1 = v + v2

La formule (S03-3) n'est simple qu'en apparence, car le vecteur v2 ne fait pas partie du même espace que v et v1 . Le symbole v2 de la formule ne représente donc pas la vitesse de l'objet vue par le second observateur, mais cette vitesse ramenée dans l'espace de départ en utilisant une bijection entre les deux espaces qui n'est valable qu'à l'instant considéré.

Pour respecter le principe d'invariance, il faudra préciser pour toutes les grandeurs introduites la correspondance entre l'objet mathématique qui représente cette grandeur dans le nouvel espace et l'objet qui la représente dans l'ancien, lors d'une transformation quelconque. En pratique, on peut se contenter d'examiner cette correspondance lors d'une transformation de Galilée.

L'invariance serait beaucoup plus facile à examiner dans le cadre de l'espace-temps (quatre dimensions) car, cet espace-temps étant unique, il suffit de préciser le type de la grandeur introduite pour vérifier le principe d'invariance.

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Dernière mise à jour le 04-07-2002