ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance

Les théories globales (théorie de type circuit) considèrent un ensemble de grandeurs n'ayant qu'un nombre fini, ou en tout cas discret, de degrés de libertés. Or, les champs pouvant avoir une valeur différente en chaque point de l'espace, leur nombre de degrés de liberté est infini. Il faut donc pour déduire un modèle global d'un modèle local imposer aux champs des contraintes supplémentaires.

Un déplacement quelconque, réel ou virtuel, qui présente un degré de liberté q , peut être représenté par un champ de vecteur u . Un champ uniforme représente un mouvement de translation (figure S03-1). Pour représenter une rotation, il faut un champ de la forme suggérée à la figure S03-2.

Le champ de vecteur u est décrit par ses composantes. Ainsi, dans le référentiel cartésien associé à des coordonnées x, y et z, une translation dans la direction des x est décrite par un champ de vecteur dont les composantes sont

(S03-4a) u_x = 1 , u_y = 0 , u_z = 0 .

De même, si on utilise le référentiel naturel associé ` des coordonnées cylindriques r, j, z , une rotation autour de l'axe des z sera décrite par un champ de vecteur dont les composantes sont

(S03-4b) u_r = 0 , u_j = 1 , u_z = 0 .

Les exemples ci-dessus sont très particuliers en ce sens que dans ces exemples le déplacement décrit par le vecteur u "respecte" le référentiel utilisé. En général, puisque u est un champ, ses composantes sont des fonctions des coordonnées. Par exemple, si on exprime le champ (S03-4b) dans le référentiel orthonormé (et non plus naturel) associé aux mêmes coordonnées cylindriques, on obtient les composantes

(S03-4c) .

A chaque instant, la vitesse du déplacement en un point donné est de la forme

(S03-4d)

où le point placé au dessus du theta désigne la dérivation temporelle (c'est-à-dire par rapport au temps t). Cette expression s'applique aussi bien au cas d'une translation qu'au cas d'une rotation, car q est une position généralisée : c'est un angle de rotation dans le cas de la figure S03-2, mais un simple décalage par translation dans le cas de la figure S03-1.

Les champs de vecteur u seront utilisés pour le calcul des forces généralisées (force dans le cas d'une translation, couple dans le cas d'une rotation...).

Alors qu'un champ bénéficie d'un nombre infini de degrés de libertés, les grandeurs associées à une branche de circuit n'ont que deux degrés de libertés. Pour passer d'un modèle champ à un modèle circuit, il faut réduire le nombre de degrés de liberté en imposant aux champs électromagnétiques des contraintes.

En ce qui concerne les circuits utilisés en électrotechnique, c'est sur la répartition spatiale du courant que l'on impose des contraintes. La répartition des filets de courant est caractérisée par un vecteur contravariant de poids 1 (la densité de filets de courants) que nous noterons , N ou Nⁱ .

Lorsqu'un bobinage est formé d'un seul fil électrique (c'est-à-dire sans mise en parallèle de plusieurs sections), et que le modèle champ est macroscopique par rapport aux dimensions transversales du fil, N mérite le nom de densité de conducteurs.

On remarque que la densité de conducteur est un vecteur, et non un scalaire. La composante de ce vecteur dans la direction d'un des vecteurs de base est le nombre de fois que le conducteur traverse une surface élémentaire construite sur les deux autres vecteurs de base (figure S03-3)

Fig. S03-3

Dans la situation simple où N est une densité de conducteurs, le nombre n de conducteurs traversant une surface S donnée est donné par l'intégrale de surface

(S03-5a) òò N . dS = n

(le produit scalaire est naturel car l'élément de surface dS est un vecteur covariant).

Exercice proposé S03-10 : lois de transformation de N¹ N² N³ lors d'un changement de référentiel.

En utilisant la mesure de longueur, le module de N et ses composantes dans un référentiel orthonormé s’expriment en nombre de filets de courant / m² .

Si on considère plusieurs branches simultanément, on peut les distinguer par un indice inférieur : Na (ou ) sera la branche numéro a.

Puisque les branches de circuit sont définies par un objet mathématique Nⁱ , on dispose d'une définition rigoureuse de leur multiplication par un nombre ou de leur somme, donc de leurs combinaisons linéaires.

Normalement, les filets de courant partent d'une région localisée de l'espace et aboutissent dans une autre région localisée : ces deux régions sont les bornes du circuit. En dehors des bornes, les "filets de courant" ne disparaissent pas : la divergence de la densité N est donc nulle en dehors des bornes du circuit.

Exercice proposé S03-11 : modélisation des circuits électriques primaire et secondaire d'un transformateur

Si on considère l'ensemble des branches de circuit N_a d'un système, les grandeurs div N_a ne peuvent pas être linéairement indépendantes.

En pratique, on veillera à choisir les N_a de telle sorte que le nombre de contraintes indépendantes soit fini ( et même inférieur au nombre de branches ).

Ces contraintes peuvent alors se mettre sous la forme d'une matrice d'incidence : cette matrice a autant de colonnes qu'il y a de branches de circuit, chaque ligne correspond à une contrainte.

Si une branche de circuit est mobile, la densité vectorielle N_a qui la définit peut varier dans le temps. La variation peut être considérée comme un simple déplacement du circuit s'il existe une vitesse v_a telle que

(S03-8) d N_a / dt + Lv_a N_a = 0

Dans le langage des composantes, l'expression (S03-8) s'écrit

(S03-9) ¶ _t N_aⁱ + v_a^j ¶ _j N_aⁱ - N_a^j ¶ _j v_aⁱ + N_aⁱ ¶ _j v_a^j = 0

soit, pour ceux que la convention des indices muets dérange,

(S03-9b) ¶_t N_aⁱ + S_j=1,2,3v_a^j ¶_j N_aⁱ - S_j=1,2,3 N_a^j ¶_j v_aⁱ + S_j=1,2,3 N_aⁱ ¶_j v_a^j = 0

Nous dirons qu'une branche de circuit N_a est glissante s'il existe un champ de vitesse v_aⁱ qui satisfait (S03-8)(S03-9).

Exercice proposé S03-12 : modélisation du circuit électrique d'une roue de Barlow (ou disque de Faraday).

Exercice S03-13 : Exemple d'un circuit qui n'est pas glissant (et donc pas filiforme non plus)

On remarquera que la vitesse v_a n'est pas définie de façon unique par les équations (S03-8) ou (S03-9) car, en dehors des bornes, on peut ajouter à v_a n'importe quelle contribution parallèle à N_a .

Exercice S03-14 : le montrer.

Si la dépendance temporelle de N_a peut être caractérisée par une variable de "position du circuit" r_a , la vitesse v_a doit être proportionnelle à la dérivée temporelle de r_a :

(S03-10)

La façon dont nous avons défini les branches de circuit sur cette page fournit une "interprétation physique" de la notion de branche de circuit, et en particulier à la combinaison linéaire de branches de circuit dont la possibilité a été mentionnée à la fin de la page consacrée à la structure préalable des circuits électriques.

Il ne s’agit cependant que d’une interprétation : la notion de circuit et les opérations de combinaison des branches peuvent être utiles même quand elles ne correspondent pas à un modèle local !

Dernière mise à jour le 13-12-2004