ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaines 3 : Correspondance entre modèles "champ" et "circuit"
Guidance

Les équations homogènes de Maxwell s'écrivent

(S03-23a) div B = 0

(S03-24) rot E + ¶ B/ ¶ t= 0

L'équation (S03-23A) peut aussi se présenter sous sa forme intégrale

(S03-23b)

Lorsque les équations (S03-23) et (S03-24) sont vérifiées, il existe un scalaire V et un covecteur A (appelés potentiels scalaire et vecteur) tels que

(S03-25) B = rot A

(S03-26) E = - grad V - ¶ _t A

Dans un problème de calcul de champ, le fait d'utiliser le potentiel vecteur A comme variable indépendante suffit à garantir la satisfaction de l'équation S03-23. Par contre, comme A n'est pas défini de façon unique, il faut pour obtenir un problème à solution unique imposer à A des conditions supplémentaires arbitraires.

Dans le cas des problèmes magnétostatiques 2D, la grandeur utilisée comme variable indépendante est souvent A . La variable A présente en effet dans ce cas un avantage supplémentaire : si le champ magnétique B est parallèle aux surfaces correspondant aux deux coordonnées retenues, on peut définir le potentiel vecteur A de telle sorte que sa seule composante non nulle soit celle qui correspond à la coordonnée ignorée.

Ainsi, en coordonnées cartésiennes, si la coordonnée ignorée est z, on utilise comme variable indépendante A_z (fonction de x et de y).

En coordonnées cylindriques, si la coordonnée ignorée est z (problèmes polaires), on utilise aussi comme variable A_z (fonction de r et j ).

Enfin, en coordonnées cylindriques, si la coordonnée ignorée est j (problèmes axiaux), on utilise comme variable A_j ou (fonctions de r et z). Très souvent, le programme de calcul utilise lors de ses entrées-sorties (afin de complaire les utilisateurs habitués à l'utilisation de repères orthonormés), mais utilise comme variable interne la composante relative au repère naturel, c'est-à-dire

(S03-27)

car cette variable obéit à des équations plus simples.

L'utilisation de la variable A présente aussi un avantage pour la présentation des résultats d'un calcul 2D. En effet, les équipotentielles de A_z ou A_j (mais pas de ) ne sont autres que les lignes de flux du champ magnétique B.

Exercice proposé S03-17 : lignes de flux en 2D à symétrie de translation (démonstration)

Exercice proposé S03-18 : lignes de flux en 2D axial (démonstration)

Exercice proposé S03-19 : une petite colle sur le 2D axial

Les potentiels n’étant définis qu’à une constante près, il faut pour obtenir un problème numérique bien défini imposer une contrainte qui élimine l’arbitraire, par exemple imposer la valeur du potentiel en un point, ou imposer au potentiel de respecter la symétrie du dispositif.

Si on néglige cette précaution, la plupart des programmes signaleront une erreur numérique. Comme la résolution des grands systèmes se fait par des techniques itératives, d’autres programmes arrivent à fournir une solution convenable sans signaler que le problème est indéterminé (mais la convergence risque alors d'être perturbée) !

En électrotechnique, on se trouve parfois dans des situations où le terme ¶ _t B qui figure dans (S03-24) est négligeable. Cette situation est dite "quasistatique électrique". Dans une situation quasistatique électrique, il n'y a pas lieu de considérer le terme ¶ _t A dans l'équation (S03-26) du potentiel scalaire.

On désigne sous le nom de quasistatique galvanique une situation qui est à la fois quasistatique magnétique et électrique.

Les premières équations de cette page, soient (S03-23) à (S03-26), peuvent s'écrire schématiquement sous la forme ci-dessous

Le fait d'avoir défini la nature mathématique des grandeurs B, E, V et A détermine la façon dont leurs composantes se transforment lors d'un changement de référentiel. Comme il s'agit d'une formulation 3D, cela ne suffit cependant pas pour respecter le principe d'invariance : il faudrait encore préciser la façon dont ces grandeurs se transforment lors d'un changement de l'échelle des temps (nous ne le ferons pas) et, surtout, lors d'un changement d'espace (transformation de Galilée).

Pour que les équations (S03-23)(S03-24)(S03-25)(S03-26) gardent la même forme après transformation, il faut que les champs dans l'espace du premier observateur correspondent aux champs dans l'espace du second observateur par les relations ci-dessous (qui ne sont pas des égalités mathématiques).

La façon la plus simple d'obtenir les lois de transformation (S03-28) à (S03-31) passe par un raisonnement dans l'espace à 4 dimensions.

On remarque (formule S03-29) que le champ électrique n’est pas le même dans tous les référentiels. En particulier, dans le cas d’un milieu parfaitement conducteur, le champ électrique est nul dans le référentiel propre du milieu, mais, si le milieu est en mouvement, le champ ne sera pas nécessairement nul dans le référentiel "du laboratoire ", c’est-à-dire un référentiel que l’on considère comme fixe. L'application aveugle du principe selon lequel le champ électrique est nul dans un conducteur parfait conduit donc à des raisonnements faux dans le cas de conducteurs mobiles.

La densité scalaire E . B reste inchangée lors d'une transformation de Galilée. On peut donc dire que

(S03-32) E . B est un invariant.

Dernière mise à jour le 27-09-2002