ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs
électromécaniques
Semaines 7 : Énergie et force
Guidance
Calcul de la force par l'intégrale de Maxwell
La puissance totale prise par les champs électromagnétiques aux autres "systèmes" (mécanique, thermique...) s'obtient en intégrant sur le volume considéré soit le second membre de (S05-42), soit le premier.
Dans le second cas, l'intégrale du terme div S peut se ramener par le théorème de Gauss à l'intégrale de surface de S sur la frontière du volume considéré. En l'absence de rayonnement, si on étend cette frontière suffisamment loin du dispositif considéré, cette intégrale sera nulle.
De la même façon, la force totale (selon un champ de vecteur u ) s'obtient en faisant l'intégrale du second ou du premier membre de (S05-46). Il s'agit d'une force au sens généralisé en ce sens que, selon le choix du champ u , on peut obtenir aussi bien une force proprement dit qu'un couple.
Il faut éviter de calculer le couple en intégrant la densité locale de force au sens habituel, soit le second membre de (S05-43), multipliée par le bras de levier. En effet, on ne tiendrait pas compte dans ce cas de la contribution d'une éventuelle densité de couple, qui joue un rôle dans le cas de milieux anisotrope ou polarisés.
L'obtention de la force par l'intégration du premier membre de (S05-46) présente des avantages pratiques intéressants. Tout d'abord, ce premier membre se réduit dans les cas quasistatiques (voir ..... et conditions quasistatiques) à ¶i ( Tij uj ) . Il s'agit à nouveau d'une divergence, de sorte que son intégrale de volume se réduit à une intégrale de surface prise sur la frontière du volume considéré. On a donc
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(S05-70) |
La formule (S05-70) est très utile en pratique pour calculer la force sur un corps. Elle ne nécessite pas une connaissance détaillée du champ à l'intérieur de ce corps, mais seulement sur une surface qui encercle ce corps. Si cette surface se trouve dans une région où il n'y a pas de densité de force, la position et la forme exacte de cette surface sont sans importance.
L'intégrant de (S05-70) se prête à une "interprétation physique" susceptible de faciliter sa mémorisation. On peut en effet considérer qu'il s'agit d'un produit scalaire entre le vecteur uj et l'élément de force Tij dSi . Cet élément de force comporte en général une composante normale à la surface et une composante tangentielle. En décomposant les champs en une composante normale et une composante tangentielle, on montre que
- la composante tangentielle est orientée dans même direction que la composante tangentielle du champ H et vaut
(S05-71) B^ H//
- que la composante normale, orientée vers l'extérieur de la surface, vaut
(S05-72) B^ H^ - Wcm
La composante tangentielle (S05-71) ne dépend pas des relations constitutives. Même si le milieu présente une discontinuité à l'endroit de la surface d'intégration, la formule (S05-71) garde la même valeur que l'on considère les champs d'un côté ou de l'autre de la surface.
La composante normale (S05-72) ne bénéficie pas de ces propriétés. Dans le cas d'un milieu linéaire, on peut l'écrire (en référentiel orthonormé) sous la forme
(S05-73) 
(B^
2 - B//2 ) ou 
µ (H^
2 - H//2 )
qui montre que la composante normale peut être positive ou négative selon que l'inclinaison du champ est inférieure ou supérieure à 45° .
Exercice S05-23 - Redémontrez l'expression (2.81) en utilisant (S05-71) et (S05-72).
Dans une machine électrique classique, le mouvement se produit dans une direction tangentielle à l'entrefer, ce qui permet d'effectuer des mouvements de grande amplitude tout en gardant un entrefer petit.
Dans cette situation, le calcul de la force par la méthode de Maxwell est particulièrement intéressant, car on peut choisir pour calculer le couple (ou la force dans le cas d'une machine à mouvement linéaire) une surface d'intégration tangente partout au vecteur uj qui décrit la direction du mouvement. L'intégrant du tenseur de Maxwell se réduit alors à (2.95), dont nous avons noté ci-dessus plusieurs avantages.
Exercice S05
Exercice S05-23 : Montrer que, si le champ d'entrefer des convertisseurs classiques était purement radial, comme supposé dans les cours élémentaires, leur couple serait nul.
Par séparation des variables r et j , une solution générale exacte pour le champ magnétique l'entrefer d'une machine rotative, en supposant que le système est 2D (présente une symétrie de translation dans la direction ez ) est
(S05-74a) Hr = -D'0 / r - S n (C'n rn-1 - D'n / rn+1 ) cos n j
- S n (C" rn-1 - D"n / rn+1 ) sin n j
(S05-74b) Hj = S n (C'n rn-1 + D'n / rn+1 ) sin n j
+C"0 /r + S n (C"n rn-1 + D"/ rn+1 ) cos n j
(S05-74c) Hz = 0
où les coefficients C'n , C"n , D'n et D"n sont à ajuster de façon à ce que le champ d'entrefer se raccorde correctement au champ des autres régions. Les sommes portent sur toutes les valeurs strictement positives de n.
En effectuant l'intégrale du tenseur de Maxwell sur une surface cylindrique située dans l'entrefer, exprimez le couple en fonction des coefficients du développement obtenu (beaucoup de termes s'annulent lors de l'intégration). Montrez que le résultat ne dépend nullement du rayon du cylindre considéré pour le calcul. Montrer que le couple n'est différent de 0 que s'il existe au moins un couple de coefficients non nuls de la forme .................
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Dernière mise à jour le 06-10-2003
pour un système quasistatique 
